1.Cho $a,b,c>0$.CMR:
a)$(2a+1)(2b+1)(ab+3)\geq 48ab$
b)$a^{2}(1+b^{2})+b^{2}(1+c^{2})+c^{2}(1+a^{2})\geq 6abc$
2.Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=1$.CMR:
$\sqrt{9a+1}+\sqrt{9b+1}+\sqrt{9c+1}\leq 6$
1. b) Áp dụng AM-GM ta có
$\left\{\begin{matrix} a^{2}(1+b^{2})\geq 2a^{2}b & & \\ b^{2}(1+c^{2})\geq 2b^{2}c & & \\ c^{2}(1+a^{2})\geq 2c^{2}a & & \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow a^{2}(1+b^{2})+b^{2}(1+c^{2})+c^{2}(1+a^{2})\geq 2a^{2}b+2b^{2}c+2c^{2}a\geq 3\sqrt[3]{2^{3}a^{3}b^{3}c^{3}}=3.2abc=6abc$
Dấu''='' xảy ra khi $a=b=c$
a) Đề đúng phải là $(2a+1)(2b+3)(ab+3)\geq 48ab$ chứ bạn nhỉ
Áp dụng AM-GM ta có
$\left\{\begin{matrix} 2a+1\geq 2\sqrt{2a} & & \\ 2b+3\geq 2\sqrt{6b} & & \\ ab+3\geq 2\sqrt{3ab} & & \end{matrix}\right.\Rightarrow (2a+1)(2b+3)(ab+3)\geq 2^{3}.\sqrt{2.3.6.a^{2}b^{2}}=48ab$
2. Áp dụng Bunhiacopxki ta có
$(\sqrt{9a+1}+\sqrt{9b+1}+\sqrt{9c+1})^{2}\leq (1+1+1)(9a+9b+9c+3)=3(9+3)=36\Leftrightarrow \sqrt{9a+1}+\sqrt{9b+1}+\sqrt{9c+1}\leq 6$
Dấu''='' xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi votruc: 18-08-2015 - 09:39