Chủ đề này có 1 trả lời

[khanghaxuan]

Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình : $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t}=n$

[PT42]

Vì vai trò của x, y, z, t bình đẳng nên có thể giả sử $x \leq y\leq z \leq t$ $\Rightarrow \frac{1}{t} \leq \frac{1}{z} \leq \frac{1}{y} \leq \frac{1}{x}$

Vì $x, y, z, t \geq 1$ nên $n = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} + \frac{1}{t} \leq 4$ $\Rightarrow$ n = 1, 2, 3 hoặc 4.

 

- Trường hợp 1: n = 4

Nếu  x, y, z, t không cùng bằng 1 thì $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}+ \frac{1}{z} + \frac{1}{t} < 4$ nên x = y = z = t = 1

 

Trường hợp 2: n = 3

Nếu x > 1 thì $2\leq x \leq y \leq z \leq t \Rightarrow \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} + \frac{1}{t} \leq \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 2 < 3$

$\Rightarrow x = 1 \Rightarrow \frac{1}{y} + \frac{1}{z} + \frac{1}{t} = 2 \leq \frac{3}{y} \Rightarrow 2y \leq 3 \Rightarrow y = 1$

$\Rightarrow \frac{1}{z} < 1 = \frac{1}{z} + \frac{1}{t} \leq \frac{2}{z} \Rightarrow 1 < z \leq 2 \Rightarrow z = 2 \Rightarrow t = 2$

 

Trường hợp 3: n = 2

$\Rightarrow 2 = n \leq \frac{4}{x} \Rightarrow x \leq 2 \Rightarrow$ x = 1 hoặc x = 2

* Nếu x = 1 thì $\frac{1}{y} < \frac{1}{y} + \frac{1}{z} + \frac{1}{t} = 1 \leq \frac{3}{y} \Rightarrow 1 < y \leq 3 \Rightarrow$ y = 2 hoặc 3

- Nếu y = 2 thì $\frac{1}{z} < \frac{1}{z} + \frac{1}{t} = \frac{1}{2} \leq \frac{2}{z} \Rightarrow 2 < z \leq 4 \Rightarrow$ z = 3 hoặc 4.

z = 3 thì t = 6

z = 4 thì t = 4. 

- Nếu y = 3 thì $\frac{1}{z} < \frac{1}{z} + \frac{1}{t} = \frac{2}{3} \leq \frac{2}{z} \Rightarrow \frac{3}{2} < z \leq 3 \Rightarrow$ z = 2 hoặc 3.

z = 2 thì $\frac{1}{t} = \frac{2}{3} - \frac{1}{2} = \frac{1}{6} \Rightarrow t = 6$

z = 3 thì t = 3

 

* Nếu x = 2 thì dễ dàng suy ra y = z = t = 2.

 

 

Trường hợp 4: n = 1

Có $\frac{1}{x} <1 = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} + \frac{1}{t} \leq \frac{4}{x} \Rightarrow 1 < x \leq 4 \Rightarrow$ x = 2, 3 hoặc 4.

* Nếu x = 4 thì $\frac{3}{4} = \frac{1}{y} + \frac{1}{z} + \frac{1}{t} \leq \frac{3}{4}$ nên y = z = t = 4

 

* Nếu x = 3 thì $\frac{1}{y} + \frac{1}{z} + \frac{1}{t} = \frac{2}{3} \leq \frac{3}{y} \Rightarrow 3 = x \leq y \leq \frac{9}{2} \Rightarrow$ y = 3 hoặc 4.

- Nếu y = 3 thì $\frac{1}{z} < \frac{1}{z} + \frac{1}{t} = \frac{1}{3} \leq \frac{2}{z} \Rightarrow 3 < z \leq 6 \Rightarrow$ z = 4, 5 hoặc 6

z = 4 thì $\frac{1}{t} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{1}{12} \Rightarrow t = 12$

z = 5 thì $\frac{1}{t} = \frac{1}{3} - \frac{1}{5} = \frac{2}{15} \Rightarrow t = \frac{15}{2}$ (loại)

z = 6 thì t = 6

- Nếu y = 4 thì $\frac{1}{z} + \frac{1}{t} = \frac{2}{3} - \frac{1}{4} = \frac{5}{12} \leq \frac{2}{z} \Rightarrow y = 4 \leq z \leq \frac{24}{5} \Rightarrow$ z = 4 

$\Rightarrow \frac{1}{t} = \frac{5}{12} - \frac{1}{4} = \frac{1}{6} \Rightarrow t = 6$

 

* Nếu x = 2 thì $\frac{1}{y} < \frac{1}{y} + \frac{1}{z} + \frac{1}{t} = \frac{1}{2} \leq \frac{3}{y} \Rightarrow 2 < y \leq 6 \Rightarrow$ y = 3, 4, 5 hoặc 6.

- Nếu y = 3 thì $\frac{1}{z} < \frac{1}{z} + \frac{1}{t} = \frac{1}{6} \leq \frac{2}{z} \Rightarrow 6 < z \leq 12$ $\Rightarrow$ z = 7, 8, 9, 10, 11 hoặc 12

z = 7 thì $\frac{1}{t} = \frac{1}{6} - \frac{1}{7} = \frac{1}{42} \Rightarrow t = 42$

z = 8 thì $\frac{1}{t} = \frac{1}{6} - \frac{1}{8} = \frac{1}{24} \Rightarrow t = 24$

z = 9 thì$\frac{1}{t} = \frac{1}{6} - \frac{1}{9} = \frac{1}{18} \Rightarrow t = 18$

z = 10 thì $\frac{1}{t} = \frac{1}{6} - \frac{1}{10} = \frac{1}{15} \Rightarrow t = 15$

z = 11 thì $\frac{1}{t} = \frac{1}{6} - \frac{1}{11} = \frac{5}{66}$ (loại)

z = 12 thì t = 12

 

- Nếu y = 4 thì $\frac{1}{z} < \frac{1}{z} +\frac{1}{t} = \frac{1}{4} \leq \frac{2}{z} \Rightarrow 4 < z \leq 8$ $\Rightarrow$ z = 5, 6, 7 hoặc 8.

z = 5 thì $\frac{1}{t} = \frac{1}{4} - \frac{1}{5} = \frac{1}{20} \Rightarrow t = 20$

z = 6 thì $\frac{1}{t} = \frac{1}{4} - \frac{1}{6} = \frac{1}{12} \Rightarrow t = 12$

z = 7 thì $\frac{1}{t} = \frac{1}{4} - \frac{1}{7} = \frac{3}{28}$ (loại)

z = 8 thì t = 8

 

- Nếu y = 5 thì $\frac{1}{z} + \frac{1}{t} = \frac{1}{2} - \frac{1}{5} = \frac{3}{10} \leq \frac{2}{z} \Rightarrow y = 5 \leq z \leq \frac{20}{3} \Rightarrow$ z = 5 hoặc 6

z = 5 thì $\frac{1}{t} = \frac{3}{10} - \frac{1}{5} = \frac{1}{10} \Rightarrow t = 10$

z = 6 thì $\frac{1}{t} = \frac{3}{10} - \frac{1}{6} = \frac{4}{30}$ (loại)

 

- Nếu y = 6 thì $\frac{1}{z} + \frac{1}{t} = \frac{1}{2} - \frac{1}{6} = \frac{1}{3} \leq \frac{2}{z} \Rightarrow y = 6 \leq z \leq 6 \Rightarrow z = t = 6$

 

Vậy có các kết quả như trên và các hoán vị của x, y, z, t.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PT42: 30-08-2015 - 10:16