Chủ đề này có 3 trả lời

[Hoangtheson2611]

Cho a;b;c là các số thực dương . CMR : $\sum \sqrt{\frac{a^{3}}{a^{3}+(b+c)^{3}}} \geqslant 1$

[hoctrocuaHolmes]

Cho a;b;c là các số thực dương . CMR : $\sum \sqrt{\frac{a^{3}}{a^{3}+(b+c)^{3}}} \geqslant 1$

Ta có BĐT phụ sau:$x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)\leq \frac{(x^2+2)^2}{4}$ 

Đặt $x+1=a;x^{2}-x+1=b\Rightarrow ab\leq \frac{(a+b)^{2}}{4}\Leftrightarrow (a-b)^{2}\geq 0$ (luôn đúng

$VT=\sum\sqrt{\frac{1}{1+\left ( \frac{b+c}{a} \right )^3}}\geq \frac{2}{2+\frac{(b+c)^2}{a^2}}=\sum \frac{2a^2}{a^2+(b+c)^2}\geq \sum \frac{a^2}{a^2+b^2+c^2}=1$ 

Dấu''='' xảy ra khi $a=b=c$

[pdtienArsFC]

Đi chứng minh: $\sqrt{\frac{a^3}{a^3+(b+c)^3}}\geq \frac{a^2}{a^2+b^2+c^2}$

Thật vậy:

$\sqrt{\frac{a^3}{a^3+(b+c)^3}}=\sqrt{\frac{1}{1+(\frac{b+c}{a})^3}}=\sqrt{\frac{1}{(1+\frac{b+c}{a})(1+(\frac{b+c}{a})^2-\frac{b+c}{a})}}\geq {\frac{2}{2+(\frac{b+c}{a})^2}}\geq \frac{a^2}{a^2+b^2+c^2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pdtienArsFC: 21-08-2015 - 22:07

[phamquanglam]

Bài này có cách làm khá hay!!!!!!!!!!

Xét: $2a^{2}(b^{2}+c^{2})+(b^{2}+c^{2})^{2}-a(b+c)^{3}=(b^{2}+c^{2}+2a^{2})(b^{2}+c^{2})-a(b+c)^{3}\geq 0$

Nên: $\sqrt{\frac{a^{3}}{a^{3}+(b+c)^{3}}}-\frac{a^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}=a^{2}.(\frac{1}{\sqrt{a^{4}+a(b+c)^{3}}}-\frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}})\geq a^{2}.(\frac{1}{\sqrt{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}}-\frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}})=0$

Suy ra điều phải chứng minh