Chủ đề này có 667 trả lời

[Minh Hieu Hoang]

 

 

BÀI 116:   GPT nghiệm nguyên : x²-25y²-2x+6=0

 

 

Từ phương trình $\Rightarrow$ $\Delta = 100y^{2}-20$

Để PT có nghiệm nguyên $\Leftrightarrow 100y^{2}-20= k^{2}(k\epsilon N) \Leftrightarrow (10y-k)(10y+k)= 20=2.10=10.2=-2.(-10)=-10.(-2)$

Đến đây dễ dàng giải hệ 

[Dinh Xuan Hung]

$113$.Cho x,y,z đôi một khác nhau. CMR:

$\sum \frac{x^{2}}{(y-z)^{2}}\geq 2$

Ta dễ có đẳng thức:$\frac{yz}{(x-z)(x-y)}+\frac{xz}{(y-z)(y-x)}+\frac{xy}{(z-x)(z-y)}=1$ (Việc chứng minh nó khá dễ nên mình nhường cho các bạn)

Từ đó ta có:$\sum \frac{x^{2}}{(y-z)^{2}}=\left ( \sum \frac{x}{y-z} \right )^2+2\left ( \frac{yz}{(x-z)(x-y)}+\frac{xz}{(y-z)(y-x)}+\frac{xy}{(z-x)(z-y)} \right )\geq 2$

[Cuongpa]

Ta có: $A =n^8-n^6-n^4+n^2 =[(n-1)n(n+1)]^2$ $(x^2+1)$

 Chứng minh $A \vdots 2^7$ ; $A \vdots 3^2$ và $A \vdots 5$ với điều kiện $n$ lẻ ta được điều phải chứng minh.

bài này có liên quan đến $x$ không? 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Cuongpa: 05-09-2015 - 16:49

[Dao Khanh Ly]

Ta dễ có đẳng thức:$\frac{yz}{(x-z)(x-y)}+\frac{xz}{(y-z)(y-x)}+\frac{xy}{(z-x)(z-y)}=1$ (Việc chứng minh nó khá dễ nên mình nhường cho các bạn)

Từ đó ta có:$\sum \frac{x^{2}}{(y-z)^{2}}=\left ( \sum \frac{x}{y-z} \right )^2+2\left ( \frac{yz}{(x-z)(x-y)}+\frac{xz}{(y-z)(y-x)}+\frac{xy}{(z-x)(z-y)} \right )\geq 2$

 Anh ơi hình như $\frac{yz}{(x-z)(x-y)}+\frac{xz}{(y-z)(y-x)}+\frac{xy}{(z-x)(z-y)}=-1$ mà, có p bằng 1 đâu

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dao Khanh Ly: 05-09-2015 - 17:13

[an nguyen x satachi]

A HA bạn nói đúng rồi. thì ra lỗi là ở chỗ A²=6+A =>A=2 hoặc A=-3. Mà A>0 =>A= 2

trong violympic toán vòng 1 bài 1 cũng có bài kiểu thế này lun bạn nào đã thi chưa

[Dao Khanh Ly]

trong violympic toán vòng 1 bài 1 cũng có bài kiểu thế này lun bạn nào đã thi chưa

Bài này năm lớp 7 lúc ôn hsg bọn mk cx đc học r. Nhưng vẫn thấy nó ảo diệu ~

[royal1534]

trong violympic toán vòng 1 bài 1 cũng có bài kiểu thế này lun bạn nào đã thi chưa

Thấy rồi,không biết học sinh nghỉ sao nhĩ?

[Namthemaster1234]

$PT\Leftrightarrow (x-1)^{2}-25y^{2}+5=0\Leftrightarrow (x-5y-1)(x+5y-1)=-5$

Đến đây xét ước

Cũng có 1 bài này chưa giải ra,đăng lên hỏi các bạn

Bài 118:Cho $a;b;c;d>0$ và $abcd=1$.

Chứng minh rằng
$\frac{a^3}{b^2(c^2+d^2)}+\frac{b^3}{c^2(d^2+a^2)}+\frac{c^3}{d^2(a^2+b^2)}+\frac{d^3}{a^2(b^2+c^2)} \geq 2$

 

Theo AM-GM ta có: $\frac{a^3}{b^2(c^2+d^2)}+\frac{b^2}{2}+\frac{c^2+d^2}{4}+\frac{a}{2}\geq 2a^2$

 

Vậy nên: $\sum \frac{a^3}{b^2(c^2+d^2)}\geq \sum a^2-\frac{\sum a}{2}\geq \frac{t^2}{4}-\frac{t}{2}$

 

với $t=a+b+c+d$

 

Do đó cần chứng minh: $\frac{t^2}{4}-\frac{t}{2} \geq 2$

 

Tương đương với $(t-4)(t+2) \geq 0$ đúng theo AM-GM  $t=a+b+c+d \geq 4\sqrt[4]{abcd}=4$

[hoctrocuaHolmes]

Theo AM-GM ta có: $\frac{a^3}{b^2(c^2+d^2)}+\frac{b^2}{2}+\frac{c^2+d^2}{4}+\frac{a}{2}\geq$$ 2a^2$

 

Vậy nên: $\sum \frac{a^3}{b^2(c^2+d^2)}\geq \sum a^2-\frac{\sum a}{2}\geq \frac{t^2}{4}-\frac{t}{2}$

 

với $t=a+b+c+d$

 

Do đó cần chứng minh: $\frac{t^2}{4}-\frac{t}{2} \geq 2$

 

Tương đương với $(t-4)(t+2) \geq 0$ đúng theo AM-GM  $t=a+b+c+d \geq 4\sqrt[4]{abcd}=4$

Hình như đoạn màu đỏ có nhầm lẫn thì phải.Đó phải là $2a$ chứ bạn

[CaptainCuong]

Bài 119: Tìm tất cả các số tự nhiên $n$ biết $n$ có hai chữ số và $n$ chia hết cho tích các chữ số của nó

[Minhnguyenthe333]

Bài 119: Tìm tất cả các số tự nhiên $n$ biết $n$ có hai chữ số và $n$ chia hết cho tích các chữ số của nó

Đặt $n=\overline{xy}(1\leq x\leq 9,0\leq y\leq 9)$
Ta có: $n\vdots xy\Leftrightarrow \frac{10x+y}{xy}=\frac{10}{y}+\frac{1}{x}\in \mathbb{Z^+}$
Theo điều kiện của $x,y$ ta có: $(y,x)=(1,1);(2,1);(5,1)\Rightarrow n=(11;12;15)$

[royal1534]

Gọi số cần tìm là $\overline{ab}$ (a,b khác 0;a,b là số tự nhiên;a,b<10)

Ta có $\overline{ab}\vdots ab$

 $\Rightarrow 10a+b \vdots ab$(1)

 $\Rightarrow 10a+b \vdots a$

 $\Rightarrow b \vdots a$

Đặt $b=aq$ (với q là số tự nhiên $0<q\leq9$)

 (1)$\Rightarrow a(10+q) \vdots ab$

 $\Rightarrow 10+q \vdots b$

$ \Rightarrow$ $10+q \vdots q$ (vì $b \vdots q$)

$ \Rightarrow 10 \vdots q $

Xét $q=1$

$\Rightarrow b=a$

Thế vào (1):

$\Rightarrow 11a \vdots ab$

$\Rightarrow 11 \vdots b$

$\Rightarrow$ $b=1$(chú ý $b\leq 9$) 

$\Rightarrow a=1$

Các trường hợp khác xét tương tự là ra 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi royal1534: 05-09-2015 - 21:18

[Minhnguyenthe333]

Bài 120: Cho $x,y,z\geq 0$ thỏa $x+y+z=1$.Chứng minh rằng:

      $x+2y+z\geq 4(1-x)(1-y)(1-z)$

[Quoc Tuan Qbdh]

Bài 120: Cho $x,y,z\geq 0$ thỏa $x+y+z=1$.Chứng minh rằng:

      $x+2y+z\geq 4(1-x)(1-y)(1-z)$

http://diendantoanho...zgeq41-x1-y1-z/

[VOHUNGTUAN]

BÀI 121: Chứng minh : 5⁴ⁿ⁺¹-3⁴ⁿ⁺¹-2$\vdots 240 \forall n\in \mathbb{N}$

[royal1534]

BÀI 121: Chứng minh : 5⁴ⁿ⁺¹-3⁴ⁿ⁺¹-2$\vdots 240 \forall n\in \mathbb{N}$

Đặt A=VT 

Ta có $A=5(5^{4n}-1)-3(3^{4n}-1)$

Ta ch/m được với mọi a,b nguyên và số tự nhiên n thì $a^{n}-b^{n}$ $\vdots$ $a-b$

$\Rightarrow 5(5^{4n}-1)\vdots 5(5^{4}-1)=5(5^{2}+1)(5^{2}-1)=5.24.26=240.26 \vdots 240$

Tương tự $3(3^{4n}-1) \vdots 3(3^{4}-1)=3.80=240$

$\Rightarrow A=5^{4n+1}-3^{4n+1}-2 \vdots 240 $

[VOHUNGTUAN]

Bài 103: (đăng bài trúng con số mình yêu tk mình chờ mãi mới đăng bài đấy , bài này rất dễ vì dạo này các bạn thường đăng các bài về pt,bdt nên mình đăng bài này ) tìm số dư của phép chia ( ko hỉu sao ko gõ dc latex) 2015 mũ 2015 chia cho 63

Mod:Đăng sai số thứ tự rồi nhé,đến bài 102 rồi kia mà

giải: 2015$\equiv -1 (mod 63)$ =>2015²⁰¹⁵$\equiv -1 (mod 63)$ => số dư là 62

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi VOHUNGTUAN: 06-09-2015 - 09:01

[VOHUNGTUAN]

Bài 122. Giải hệ phương trình : $\left\{\begin{matrix} x+y+z=&1\\ x^{4}+y^{4}+z^{4}= &xyz\end{matrix}\right.$

[VOHUNGTUAN]

BÀI 123:(mở file)

Hình gửi kèm

• 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi VOHUNGTUAN: 06-09-2015 - 09:17

[royal1534]

BÀI 123:(mở file)

 

Bài 123:

b

Áp dụng bđt phụ:

Ta có$\frac{x}{2x+y+z}=\frac{x}{(x+y)+(x+z)} \leq \frac{1}{4}.x.(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z})=\frac{1}{4}(\frac{x}{x+y}+\frac{x}{x+z})$

Thiết lập các bđt tương tự ta có 

$\frac{x}{2x+y+z}+\frac{y}{2y+x+z}+\frac{z}{2z+x+y} \leq \frac{1}{4}(\frac{x}{x+y}+\frac{x}{x+z}+\frac{y}{y+x}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}+\frac{z}{z+y})=\frac{1}{4}({\frac{x+y}{x+y}+\frac{y+z}{y+z}}+\frac{z+x}{z+x})=\frac{3}{4}$

Dấu '=' xảy ra khi x=y=z

Thế nghiệm là gì nhỉ

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi royal1534: 06-09-2015 - 10:04