Chủ đề này có 5 trả lời

[duong7cvl]

cho a,b,c>0. CMR: $\frac{1}{b(b+a)}+\frac{1}{c(c+b)}+\frac{1}{a(a+c)}\geq \frac{9}{2(ab+bc+ca)}$

[Silverbullet069]

Áp dụng $Cauchy-Schwarz$ thu được: $LHS\geq \frac{(1+1+1)^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+bc+ca}\geq$ $\frac{9}{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})}$

$ab+bc+ca$ chứ không phải là $a^{2}+b^{2}+c^{2}$ nhé.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Silverbullet069: 24-08-2015 - 15:53

[hoctrocuaHolmes]

cho a,b,c>0. CMR: $\frac{1}{b(b+a)}+\frac{1}{c(c+b)}+\frac{1}{a(a+c)}\geq \frac{9}{2(ab+bc+ca)}$

Bài này mình đã giải ở đây

[Nguyenhuyen_AG]

cho a,b,c>0. CMR: $\frac{1}{b(b+a)}+\frac{1}{c(c+b)}+\frac{1}{a(a+c)}\geq \frac{9}{2(ab+bc+ca)}$

 

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có

\[\frac{1}{b(b+a)}+\frac{1}{c(c+b)}+\frac{1}{a(a+c)} \geqslant \frac{3}{\sqrt[3]{abc(a+b)(b+c)(c+a)}}.\]

Do đó, ta chỉ cần chứng minh

\[8(ab+bc+ca)^3 \geqslant 27abc(a+b)(b+c)(c+a).\]

Cũng theo bất đẳng thức AM-GM, thì

\[27abc(a+b)(b+c)(c+a) \leqslant 27\left [ \frac{c(a+b)+a(b+c)+b(c+a) }{3} \right ]^3 = 8(ab+bc+ca)^3.\]

Bài toán được chứng minh.

 

P/s. Bài này còn một cách dùng Cauchy-Schwarz khá hay bằng cách tách ghép.

[cachcach10x]

Bài này mình đã giải ở đây

sao em bấm vào toàn thấy toàn báo 'lỗi không tìm thấy' vậy?

[hoduchieu01]

áp dụng T bổ đề