Chủ đề này có 2 trả lời

[dangkhuong]

Cho $a,b,c$ ko âm: $a^4+b^4+c^4+ab+bc+ca=6$.Tìm Min,Max(nếu có) của $P=a+b+c$

[phamngochung9a]

Cho $a,b,c$ ko âm: $a^4+b^4+c^4+ab+bc+ca=6$.Tìm Min,Max(nếu có) của $P=a+b+c$

$a^{4}+1\geq 2a^{2}$. Xây dựng các BĐT tương tự, suy ra:

$9\geq 2a^{2}+2b^{2}+2c^{2}+ab+bc+ca=\frac{3}{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})+\frac{1}{2}(a+b+c)^{2}\geq (a+b+c)^{2}$

$\Rightarrow a+b+c\leq 3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 28-08-2015 - 14:41

[Hoang Nhat Tuan]

Cho $a,b,c$ ko âm: $a^4+b^4+c^4+ab+bc+ca=6$.Tìm Min,Max(nếu có) của $P=a+b+c$

Ta sẽ chứng minh Min=$\sqrt[4]{6}$ tại $a=b=0$; $c=\sqrt[4]{6}$ và các hoán vị.

Ta có:

$(a+b+c)^4-(a^4+b^4+c^4+ab+bc+ca)=4(ab+bc+ca)(a^2+b^2+c^2)+8abc(a+b+c)+6(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)-(ab+bc+ca)$ $(*)$

Ta sẽ chứng minh VP $(*)$ $\geq 0$ $(**)$

Nhận thấy: $(a^2+b^2+c^2)^2=a^4+b^4+c^4+2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)$

Và: $\sum 2a^2b^2\geq \sum ab-\frac{3}{8}<=>\sum (4ab-1)^2\geq 0$

Do đó: $(a^2+b^2+c^2)^2\geq 6-\frac{3}{8}=\frac{45}{8}>1=>a^2+b^2+c^2>1$

Từ đó suy ra $(**)$ đúng

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Nhat Tuan: 28-08-2015 - 15:59