Chủ đề này có 4 trả lời

[Lin Kon]

Cho $a,b,c\geq 0$ thỏa mãn $a+b+c=2$ . Tìm GTNN của:

$P=\frac{a}{b^2+c^2+3}+\frac{b}{a^2+c^2+3}+\frac{c}{a^2+b^2+3}$

[phamngochung9a]

Cho $a,b,c\geq 0$ thỏa mãn $a+b+c=2$ . Tìm GTNN của:

$P=\frac{a}{b^2+c^2+3}+\frac{b}{a^2+c^2+3}+\frac{c}{a^2+b^2+3}$

AD Cauchy - Schwarz ta có: 

$\sum \frac{a}{b^{2}+c^{2}+3}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+3(a+b+c)}=\frac{4}{(a+b+c)(ab+bc+ca)-3abc+6}=\frac{4}{2(ab+bc+ca)-3abc+6}$

Cần đánh giá $S=$$2(ab+bc+ca)-3abc$

- Nếu $ab+bc+ca\leq 1$ thì $S\leq 2(ab+bc+ca)\leq 2$

$\Rightarrow P\geq \frac{4}{2S+6}\geq \frac{1}{2}$

- Nếu $ab+bc+ca> 1$ thì sử dụng BĐT $abc\geq \prod (a+b-c)$. Ta có:

$abc\geq \prod (2-2a)=8(1+ab+bc+ca-a-b-c-abc)=8(ab+bc+ca-1-abc)\Rightarrow 9abc\geq 8(ab+bc+ca-1)\Rightarrow S\leq -\frac{2}{3}(ab+bc+ca)+\frac{8}{3}< 2$

$\Rightarrow P> \frac{1}{2}$

               Vậy $min$ $P$ $= \frac{1}{2}$ $\Leftrightarrow$$\left\{\begin{matrix} a=b=1 & \\ c=0 & \end{matrix}\right.$ và các hoán vị

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 05-09-2015 - 13:52

[lovelyDevil]

nếu nhân a,b,c lên dùng svax thì mầu = 0 rồi bạn

[Lin Kon]

AD Cauchy - Schwarz ta có: 

$\sum \frac{a}{b^{2}+c^{2}+3}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+3(a+b+c)}=\frac{4}{(a+b+c)(ab+bc+ca)-3abc+6}=\frac{4}{2(ab+bc+ca)-3abc+6}$

Cần đánh giá $S=$$2(ab+bc+ca)-3abc$

- Nếu $ab+bc+ca\leq 1$ thì $S\leq 2(ab+bc+ca)\leq 2$

$\Rightarrow P\geq \frac{4}{2S+6}\geq \frac{1}{2}$

- Nếu $ab+bc+ca> 1$ thì sử dụng BĐT $abc\geq \prod (a+b-c)$. Ta có:

$abc\geq \prod (2-2a)=8(1+ab+bc+ca-a-b-c-abc)=8(ab+bc+ca-1-abc)\Rightarrow 9abc\geq 8(ab+bc+ca-1)\Rightarrow S\leq -\frac{2}{3}(ab+bc+ca)+\frac{8}{3}< 2$

$\Rightarrow P< \frac{1}{2}$

               Vậy $min$ $P$ $= \frac{1}{2}$ $\Leftrightarrow$$\left\{\begin{matrix} a=b=1 & \\ c=0 & \end{matrix}\right.$ và các hoán vị

 

phải là $P>\frac{1}{2}$ đúng k ạ???

[phamngochung9a]

phải là $P>\frac{1}{2}$ đúng k ạ???

Ừ , mình nhầm tí