Mình xem lại đề rồi bạn ạ, giả thiết cho là đúng đấy.Mình giải theo cách phản chứng:
Giả sử bđt sai$\Rightarrow a^{2n+1}+b^{2n+1}>a^{2n+2}+b^{2n+2}\geq 0$
Từ giả thiết ta có: $a^{2n+1}+b^{2n+1}>a^{2n}+b^{2n}\geq 0$
$\Rightarrow (a^{2n+1}+b^{2n+1})^2>(a^{2n}+b^{2n})(a^{2n+2}+b^{2n+2})\Leftrightarrow 2(ab)^{2n+1}-(ab)^{2n}(a^2+b^2)\geq0$
$\Leftrightarrow -(ab)^{2n}(a-b)^2>0$ (Vô lí)
Vậy ta có đpcm
Mình chỉ thắc mắc là dấu ''='' xảy ra khi nào vậy
1/Cho $a,b,c>0$ thỏa $abc\geq 1$.Chứng minh:
$ \frac{a^5-a^2}{a^5+b^2+c^2}+\frac{b^5-b^2}{b^5+c^2+a^2}+\frac{c^5-c^2}{c^5+a^2+b^2}\geq 0$
2/Cho $a,b\in \mathbb{R}$ thỏa $a^{2n+1}+b^{2n+1}>a^{2n}+b^{2n}(n\in \mathbb{N^*})$.Chứng minh:
$a^{2n+2}+b^{2n+2}\geq a^{2n+1}+b^{2n+1}$
1. Bất đẳng thức cần cm tương đương với
$ \Leftrightarrow \sum \frac{a^5}{a^5+b^2+c^2} \geq \sum \frac{a^2}{a^5+b^2+c^2}$
$\Leftrightarrow \sum( 1 - \frac{b^2+c^2}{a^5+b^2+c^2}) \geq \sum\frac{a^2}{a^5+b^2+c^2} $
$ \Leftrightarrow 3 \geq (a^2+b^2+c^2)( \sum \frac{1}{a^5+b^2+c^2})$
$ \frac{1}{a^{5}+b^{2}+c^{2}}+\frac{1}{a^{2}+b^{5}+c^{2}}+\frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{5}}\leq \frac{3}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$ $(*)$
Áp dụng Bunhiacopxki ta có
$( a^{2}.b^{3}+b^{2}+c^{2}) ( a^{2}. \frac{1}{a^{3}}+b^{2}+c^{2}) \geq (a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}$
Do đó $(a^{5}+b^{2}+c^{2}) (bc+b^{2}+c^{2}) \geq ( a^{2}.a^{3}+b^{2}+c^{2}) ( a^{2}.\frac{1}{a^{3}}+b^{2}+c^{2}) \geq (a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}$ (chú ý giả thiết $abc \geq 1$)
Ta có
$\sum \frac{1}{a^{5}+b^{2}+c^{2}}\leq \sum \frac{bc+b^{2}+c^{2}}{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}\leq \sum \frac{\frac{b^{2}+c^{2}}{2}+b^{2}+c^{2}}{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}= \frac{3}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$
(đúng theo $(*)$)
Vậy ta có đpcm
Dấu ''='' xảy ra khi $a=b=c=1$