Chủ đề này có 3 trả lời

[taideptrai]

Cho các số thực không âm a,b,c trong đó không có 2 số nào đồng thời bằng 0

Chứng minh rằng $\sum \frac{a(b+c)}{a^{2}+bc}\geq 2$

[phamngochung9a]

Cho các số thực không âm a,b,c trong đó không có 2 số nào đồng thời bằng 0

Chứng minh rằng $\sum \frac{a(b+c)}{a^{2}+bc}\geq 2$

 10700414_10204618523679944_3730823187083390612_o.jpg

[Silverbullet069]

 10700414_10204618523679944_3730823187083390612_o.jpg

Đây là cách của thầy Võ Quốc Bá Cẩn.

 

Cho các số thực không âm a,b,c trong đó không có 2 số nào đồng thời bằng 0

Chứng minh rằng $\sum \frac{a(b+c)}{a^{2}+bc}\geq 2$

Nguồn : docs.vietnamdoc.net

Không mất tính tổng quát, già sử $a \geq b \geq c \geq 0$, khi đó :

$\frac{a(b+c)}{a^{2}+bc} \geq \frac{a(b+c)}{a^{2}+ac} = \frac{b + c}{a + c} \geq \frac{b}{a}$

$\frac{c(a + b)}{c^2 + ab} \geq \frac{c(a + b)}{b^2 + ab} = \frac{c(a + b)}{b(a + b} = \frac{c}{b}$

$\Rightarrow \sum \frac{a(b+c)}{a^{2}+bc} \geq \frac{b}{a} + \frac{c}{b} + \frac{b(c+a)}{b^2 + ac} \geq \frac{b}{a} + \frac{c}{b} + \frac{ab}{b^2 + ac} = \frac{b^2 + ca}{ab} + \frac{ab}{b^2 + ac}.$

Áp dụng BĐT AM-GM, ta có :

$\frac{b^2 + ca}{ab} + \frac{ab}{b^2 + ac} \geq 2.\sqrt{\frac{b^2 + ca}{ab}.\frac{ab}{b^2 + ac}} \geq 2.1 = 2$

$\Rightarrow \sum \frac{a(b+c)}{a^{2}+bc} \geq 2$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a = b, c = 0$ và các hoán vị.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Silverbullet069: 04-09-2015 - 11:50

[Silverbullet069]

Cho các số thực không âm a,b,c trong đó không có 2 số nào đồng thời bằng 0

Chứng minh rằng $\sum \frac{a(b+c)}{a^{2}+bc}\geq 2$

Cách 3 : Xét khai triển sau : (Nguồn : diendantoanhoc.net)

$(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2\geq 0$

$\Leftrightarrow \sum a^4(b^2+c^2)+2abc\sum a^2(b+c)\geq 2\sum a^3b^3+6a^2b^2c^2+2abc\sum a^3(**)$

$\Leftrightarrow \sum a(b+c)(c^2+ab)(b^2+ac)\geq 2(a^2+bc)(b^2+ac)(c^2+ab)$

$\Leftrightarrow 2abc \sum a^2(b+c)+ \sum a^4(b^2+c^2)+abc \sum a^2(b+c) \geq 4a^2b^2c^2+2\sum a^3b^3+2abc \sum a^3$

Kết hợp khai triển trên và $2a^2b^2c^2+abc\sum a^2(b+c)\geq 0$ ta có điều phải chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b,c=0$ hoặc các hoán vị.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Silverbullet069: 04-09-2015 - 13:06