Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(a,b)$ thõa mãn: $a^2+b^2 = k(ab-1)$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Minh Hai: 05-09-2015 - 20:53
Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(a,b)$ thõa mãn: $a^2+b^2 = k(ab-1)$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Minh Hai: 05-09-2015 - 20:53
Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(a,b)$ thõa mãn: $a^2+b^2 = k(ab-1)$
Spoiler
ĐK của k là $k\in N$ à ??
$a$ phải khác $b$ (thử thay $a=b$ vào thì không tìm được k)
Giả sử $a>b$. Khi đó gọi ($a,b$) là bộ số có $a$ nhỏ nhất sao cho thỏa mãn đề bài.
GT=> $f(a)=a^2-a.kb+b^2+k=0$
Dễ thấy PT trên có 2 nghiệm là $a$ và $a_0$.
Theo định lý Viete thì: $a_0=\frac{b^2+k}{a}\geq a>b$ (bởi vì a nhỏ nhất và theo Viete thì $a_0>0$ )
Do đó: $f(b)>0$ hay là: $b^2-kb^2+b^2+k>0<=>k(1-b^2)+2b^2>0$
Giờ chỉ cần xét 2 trường hợp $b=1$ và $b>1$ nữa là được.
Ở trường hợp $b>1$ thì đưa về BĐT 1 ẩn để làm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Nhat Tuan: 05-09-2015 - 22:40
ĐK của k là $k\in N$ à ??
$a$ phải khác $b$ (thử thay $a=b$ vào thì không tìm được k)
Giả sử $a>b$. Khi đó gọi ($a,b$) là bộ số có $a$ nhỏ nhất sao cho thỏa mãn đề bài.
GT=> $f(a)=a^2-a.kb+b^2+k=0$
Dễ thấy PT trên có 2 nghiệm là $a$ và $a_0$.
Theo định lý Viete thì: $a_0=\frac{b^2+k}{a}\geq a>b$ (bởi vì a nhỏ nhất và theo Viete thì $a_0>0$ )
Do đó: $f(b)>0$ hay là: $b^2-kb^2+b^2+k>0<=>k(1-b^2)+2b^2>0$
Giờ chỉ cần xét 2 trường hợp $b=1$ và $b>1$ nữa là được.
Ở trường hợp $b>1$ thì đưa về BĐT 1 ẩn để làm
Spoiler
Có vẻ như lời giải của Tuấn chưa giải quyết được gì cho bài toán cả
Có vẻ như lời giải của Tuấn chưa giải quyết được gì cho bài toán cả
Spoiler
À, t tưởng chỉ cần chứng minh $k=5$ thì phần sau sẽ dễ dàng giải quyết, không ngờ cái tính chủ quan lại tai hại thế này
À, t tưởng chỉ cần chứng minh $k=5$ thì phần sau sẽ dễ dàng giải quyết, không ngờ cái tính chủ quan lại tai hại thế này
Phần sau mới là phần quan trọng
Bài này bữa trước khi chủ topic mới mở mình đã xem qua 1 lần rồi mới biết Đâu phải thánh đào
Phần sau mới là phần quan trọng
Bài này bữa trước khi chủ topic mới mở mình đã xem qua 1 lần rồi mới biết Đâu phải thánh đào
Nhưng ở cái Link đó đã chỉ ra hết nghiệm của phương trình đó đâu, nó chỉ chứng minh có vô số nghiệm thôi
Nhưng ở cái Link đó đã chỉ ra hết nghiệm của phương trình đó đâu, nó chỉ chứng minh có vô số nghiệm thôi
Có lời giải bằng Ánh xạ chỉ ra nghiệm
Mà đọc hại não quá
Nhưng ở cái Link đó đã chỉ ra hết nghiệm của phương trình đó đâu, nó chỉ chứng minh có vô số nghiệm thôi
PT dạng đó có vô số nghiệm xây dựng theo dãy mà chị Polar ghi đó bạn. Nó chỉ ra vô số nghiệm và cả công thức nghiệm.
Thực ra ghi như thế nhưng xây dựng vậy bạn đã chỉ ra hết nghiệm của PT rồi. Nếu muốn khẳng định lại, bạn có thể chọn cặp $(a_i,b_i)$ là nghiệm mà không thuộc dãy trên thỏa mãn $a_i+b_i$ min sẽ thấy điều vô lý
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ngocanh99: 06-09-2015 - 00:15
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh