10 replies to this topic

[Nguyen Minh Hai]

Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(a,b)$ thõa mãn: $a^2+b^2 = k(ab-1)$

 

Spoiler

Biến thể từ Việt Nam TST 1992

Edited by Nguyen Minh Hai, 05-09-2015 - 20:53.

[Hoang Nhat Tuan]

Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(a,b)$ thõa mãn: $a^2+b^2 = k(ab-1)$

 

Spoiler

Biến thể từ Việt Nam TST 1992

ĐK của k là $k\in N$ à ??

$a$ phải khác $b$ (thử thay $a=b$ vào thì không tìm được k)

Giả sử $a>b$. Khi đó gọi ($a,b$) là bộ số có $a$ nhỏ nhất sao cho thỏa mãn đề bài.

GT=> $f(a)=a^2-a.kb+b^2+k=0$

Dễ thấy PT trên có 2 nghiệm là $a$ và $a_0$.

Theo định lý Viete thì: $a_0=\frac{b^2+k}{a}\geq a>b$ (bởi vì a nhỏ nhất và theo Viete thì $a_0>0$ )

Do đó: $f(b)>0$ hay là: $b^2-kb^2+b^2+k>0<=>k(1-b^2)+2b^2>0$

Giờ chỉ cần xét 2 trường hợp $b=1$ và $b>1$ nữa là được.

Ở trường hợp $b>1$ thì đưa về BĐT 1 ẩn để làm

Spoiler

Đề VN TST 1992 là thế nào vậy, sao t search google không có

Edited by Hoang Nhat Tuan, 05-09-2015 - 22:40.

[Nguyen Minh Hai]

ĐK của k là $k\in N$ à ??

$a$ phải khác $b$ (thử thay $a=b$ vào thì không tìm được k)

Giả sử $a>b$. Khi đó gọi ($a,b$) là bộ số có $a$ nhỏ nhất sao cho thỏa mãn đề bài.

GT=> $f(a)=a^2-a.kb+b^2+k=0$

Dễ thấy PT trên có 2 nghiệm là $a$ và $a_0$.

Theo định lý Viete thì: $a_0=\frac{b^2+k}{a}\geq a>b$ (bởi vì a nhỏ nhất và theo Viete thì $a_0>0$ )

Do đó: $f(b)>0$ hay là: $b^2-kb^2+b^2+k>0<=>k(1-b^2)+2b^2>0$

Giờ chỉ cần xét 2 trường hợp $b=1$ và $b>1$ nữa là được.

Ở trường hợp $b>1$ thì đưa về BĐT 1 ẩn để làm

Spoiler

Đề VN TST 1992 là thế nào vậy, sao t search google không có

Có vẻ như lời giải của Tuấn chưa giải quyết được gì cho bài toán cả   

 

Spoiler

Đề VN TST 1992 là như này :    Tìm tất cả các cặp $(a,b)$ nguyên dương thõa mãn:

                                     $a^2+b^2 = 5(ab-1)$  

[Chris yang]

Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(a,b)$ thõa mãn: $a^2+b^2 = k(ab-1)$

 

Spoiler

Biến thể từ Việt Nam TST 1992

Xem thêm ở đây

[Hoang Nhat Tuan]

Có vẻ như lời giải của Tuấn chưa giải quyết được gì cho bài toán cả   

 

Spoiler

Đề VN TST 1992 là như này :    Tìm tất cả các cặp $(a,b)$ nguyên dương thõa mãn:

                                     $a^2+b^2 = 5(ab-1)$  

À, t tưởng chỉ cần chứng minh $k=5$ thì phần sau sẽ dễ dàng giải quyết, không ngờ cái tính chủ quan lại tai hại thế này

[Nguyen Minh Hai]

À, t tưởng chỉ cần chứng minh $k=5$ thì phần sau sẽ dễ dàng giải quyết, không ngờ cái tính chủ quan lại tai hại thế này

Phần sau mới là phần quan trọng 

[Nguyen Minh Hai]

Xem thêm ở đây

Sao a đào mộ giỏi thế :v e search mãi chả ra 

[Chris yang]

Bài này bữa trước khi chủ topic mới mở mình đã xem qua 1 lần rồi mới biết Đâu phải thánh đào

[Hoang Nhat Tuan]

Phần sau mới là phần quan trọng 

 

Bài này bữa trước khi chủ topic mới mở mình đã xem qua 1 lần rồi mới biết Đâu phải thánh đào

Nhưng ở cái Link đó đã chỉ ra hết nghiệm của phương trình đó đâu, nó chỉ chứng minh có vô số nghiệm thôi  

[Nguyen Minh Hai]

Nhưng ở cái Link đó đã chỉ ra hết nghiệm của phương trình đó đâu, nó chỉ chứng minh có vô số nghiệm thôi

Có lời giải bằng Ánh xạ chỉ ra nghiệm

Mà đọc hại não quá 

[Chris yang]

Nhưng ở cái Link đó đã chỉ ra hết nghiệm của phương trình đó đâu, nó chỉ chứng minh có vô số nghiệm thôi

PT dạng đó có vô số nghiệm xây dựng theo dãy mà chị Polar ghi đó bạn. Nó chỉ ra vô số nghiệm và cả công thức nghiệm.

Thực ra ghi như thế nhưng xây dựng vậy bạn đã chỉ ra hết nghiệm của PT rồi. Nếu muốn khẳng định lại, bạn có thể chọn cặp $(a_i,b_i)$ là nghiệm mà không thuộc dãy trên thỏa mãn $a_i+b_i$ min sẽ thấy điều vô lý

Edited by ngocanh99, 06-09-2015 - 00:15.