Chủ đề này có 2 trả lời

[VuHongQuan]

Chứng minh rằng với mọi x,y,z dương ta có :

$\frac{3}{2}(\sqrt{\frac{x+y}{z}}+\sqrt{\frac{y+z}{x}}+\sqrt{\frac{z+x}{y}})^2\ge\frac{8(x+y+z)^2}{(x+y)(y+z)(z+x)}$

[longatk08]

Chứng minh rằng với mọi x,y,z dương ta có :

$\frac{3}{2}(\sqrt{\frac{x+y}{z}}+\sqrt{\frac{y+z}{x}}+\sqrt{\frac{z+x}{y}})^2\ge\frac{8(x+y+z)^2}{(x+y)(y+z)(z+x)}$

Chắc là $\frac{3}{2}(\sqrt{\frac{x+y}{z}}+\sqrt{\frac{y+z}{x}}+\sqrt{\frac{z+x}{y}})^2\geq \frac{8(x+y+z)^3}{\prod (x+y)}$

 

Áp dụng BĐT Holder:

 

$\left(\sum \sqrt{xy(x+y)} \right)^2\left [ \sum \frac{(x+y)^2}{xy} \right ]\geq 8(x+y+z)^3$

 

Từ đó thì BĐT tương đương với:

 

$(x+y)(y+z)(z+x) \geq 8xyz$ đúng theo AM-GM.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi longatk08: 13-09-2015 - 09:59

[longatk08]

Ta có BĐT tương tự:

 

$\sqrt{\frac{x+y}{z}}+\sqrt{\frac{y+z}{x}}+\sqrt{\frac{z+x}{y}}\geq \sqrt{2}+\sqrt{\frac{(x+y)(y+z)(z+x)}{xyz}}$

($x,y,z>0$)