Chủ đề này có 1 trả lời

[Nguyen Minh Hai]

Tìm $a;b$ nguyên dương thõa mãn:

 $\left\{\begin{matrix} 7\nmid ab(a+b) & & \\ 7^3 \mid a^2+ab+b^2 & & \end{matrix}\right.$

[Ego]

Theo đề bài, $\text{gcd}(a, 7) = \text{gcd}(b, 7) = 1$. Kí hiệu $t = b^{-1} \pmod{7^{3}} \implies bt \equiv 1\pmod{7^{3}} \implies bt \equiv 1\pmod{7} \implies t = b^{-1} \pmod{7}$
Có $7\nmid t^{3}.a^{2}b + t^{3}ab^{2}$ hay $7\nmid (at)^{2} + at$.
Và $7^{3}\mid (at)^{2} + at + 1$. Đặt $u = at$. 
Vậy ta có$7^{3}\mid u^{2} + u + 1 \implies 7^{3} \mid (2u + 1)^{2} + 3$ (do $\text{gcd}(4, 7) = 1$)
Giải ra ta sẽ có $2u + 1 \equiv \pm 37\pmod{7^{3}}$. Hay $u \equiv 18\pmod{7^{3}}$ hoặc $u \equiv -19 \pmod{7^{3}}$
Thế vào điều kiện còn lại ta thấy đều thỏa hai điều kiện còn lại.
Từ đó suy ra $ab^{-1} \equiv 18; -19 \pmod{7^{3}} \implies a \equiv 18b; -19b\pmod{7^{3}}$.