Đến nội dung

Hình ảnh

CMR : $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geqslant \sum \frac{2a+b}{a(a+2b)}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 7 trả lời

#1
Hoangtheson2611

Hoangtheson2611

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 435 Bài viết

Bài 1 : Cho a;b;c là các số thực dương . CMR : $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geqslant \sum \frac{2a+b}{a(a+2b)}$

Bài 2 : Cho a;b;c là các số thực dương . CMR : $\sum \frac{a^{2}}{2a^{2}+(b+c-a)^{2}}\leqslant 1$



#2
HoangVanHaoQBP

HoangVanHaoQBP

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 11 Bài viết

Cái latex của mình bị sida =)) thông cảm cái  >:)  >:)  >:)

 

8iBpDd2.jpg

 

 

 

Bài 2 chuẩn hóa a+b+c=3 rồi xài tiếp tuyến nhé. bài 2 dễ. khỏi làm =))  >:)  >:)  >:)  >:)

 

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~Thích Màu Đỏ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~



#3
royal1534

royal1534

    Trung úy

  • Điều hành viên THCS
  • 773 Bài viết
 

Bài 1 : Cho a;b;c là các số thực dương . CMR : $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geqslant \sum \frac{2a+b}{a(a+2b)}$

Bài 2 : Cho a;b;c là các số thực dương . CMR : $\sum \frac{a^{2}}{2a^{2}+(b+c-a)^{2}}\leqslant 1$

 

Bài 1:Đây chính là kĩ thuật ghép đối xứng trong sách của thầy Võ Quốc Bá Cẩn 

Ta đi chứng minh

$\frac{2}{a}+\frac{1}{b} \geq \frac{3(2a+b)}{a(a+2b)}$
$\leftrightarrow (2b+a)^{2} \geq 3b(2a+b)$
$\leftrightarrow 4b^{2}+4ab+a^{2} \geq 6ab+3b^{2}$
$\leftrightarrow (b-a)^{2} \geq 0$ (Đúng)
Tương tự ta có $\frac{2}{b}+\frac{1}{c} \geq \frac{3(2b+c)}{b(2c+b)}$
                $\frac{2}{c}+\frac{1}{a} \geq \frac{3(2c+a)}{c(2a+c)}$
Cộng 3 vế của các bất đẳng thức trên lại ta có 
$3(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) \geq 3(\frac{2a+b}{a(2b+a)}+\frac{2b+c}{b(2c+b)}+\frac{2c+a}{c(2a+c)})$
$\leftrightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \geq \frac{2a+b}{a(2a+b)}+\frac{2b+c}{b(2c+b)}+\frac{2c+a}{c(2a+c)}$
Bài 2:
Ta ch/m bđt phụ:$\frac{a^{2}}{2a^{2}+(b+c-a)^{2}} \leq \frac{a^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$
$\leftrightarrow 2a^{2}+(b+c-a)^{2} \geq a^{2}+b^{2}+c^{2}$
$\leftrightarrow 3a^{2}+b^{2}+c^{2}+2bc-2ab-2ac \geq a^{2}+b^{2}+c^{2}$
$\leftrightarrow 2a^{2}+2bc-2ab-2ac \geq 0$
$\leftrightarrow 2a(a-c)-2b(a-c)\geq 0$
$\leftrightarrow 2(a-c)(a-b) \geq 0$ 
BĐT trên luôn đúng khi ta giả sử $a=max(a;b;c)$
$\rightarrow \frac{a^{2}}{2a^{2}+(b+c-a)^{2}} \leq \frac{a^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$
Xây dựng các bđt tương tự rồi cộng lại ta có 
$\sum \frac{a^{2}}{2a^{2}+(b+c-a)^{2}} \leq \sum \frac{a^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}=1$
Dấu '=' xảy ra $\leftrightarrow a=b=c$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi royal1534: 21-09-2015 - 12:35


#4
royal1534

royal1534

    Trung úy

  • Điều hành viên THCS
  • 773 Bài viết

Cái latex của mình bị sida =)) thông cảm cái  >:)  >:)  >:)

 

8iBpDd2.jpg

 

 

 

Bài 2 chuẩn hóa a+b+c=3 rồi xài tiếp tuyến nhé. bài 2 dễ. khỏi làm =))  >:)  >:)  >:)  >:)

 

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~Thích Màu Đỏ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

THCS thì chuẩn hóa làm sao  :closedeyes:   :closedeyes:



#5
HoangVanHaoQBP

HoangVanHaoQBP

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 11 Bài viết

THCS thì chuẩn hóa làm sao  :closedeyes:   :closedeyes:

được mà =)) cứ thay a,b,c bằng ta,tb,tc là được. còn tiếp tuyến thì ngoài nháp thôi =)) xong ta dưng BĐT rồi bđ tương đương



#6
Hoangtheson2611

Hoangtheson2611

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 435 Bài viết

 

 
 

Bài 1:Đây chính là kĩ thuật ghép đối xứng trong sách của thầy Võ Quốc Bá Cẩn 

Ta đi chứng minh

$\frac{2}{a}+\frac{1}{b} \geq \frac{3(2a+b)}{a(a+2b)}$
$\leftrightarrow (2b+a)^{2} \geq 3b(2a+b)$
$\leftrightarrow 4b^{2}+4ab+a^{2} \geq 6ab+3b^{2}$
$\leftrightarrow (b-a)^{2} \geq 0$ (Đúng)
Tương tự ta có $\frac{2}{b}+\frac{1}{c} \geq \frac{3(2b+c)}{b(2c+b)}$
                $\frac{2}{c}+\frac{1}{a} \geq \frac{3(2c+a)}{c(2a+c)}$
Cộng 3 vế của các bất đẳng thức trên lại ta có 
$3(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) \geq 3(\frac{2a+b}{a(2b+a)}+\frac{2b+c}{b(2c+b)}+\frac{2c+a}{c(2a+c)})$
$\leftrightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \geq \frac{2a+b}{a(2a+b)}+\frac{2b+c}{b(2c+b)}+\frac{2c+a}{c(2a+c)}$
Bài 2:
Ta ch/m bđt phụ:$\frac{a^{2}}{2a^{2}+(b+c-a)^{2}} \leq \frac{a^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$
$\leftrightarrow 2a^{2}+(b+c-a)^{2} \geq a^{2}+b^{2}+c^{2}$
$\leftrightarrow 3a^{2}+b^{2}+c^{2}+2bc-2ab-2ac \geq a^{2}+b^{2}+c^{2}$
$\leftrightarrow 2a^{2}+2bc-2ab-2ac \geq 0$
$\leftrightarrow 2a(a-c)-2b(a-c)\geq 0$
$\leftrightarrow 2(a-c)(a-b) \geq 0$ 
BĐT trên luôn đúng khi ta giả sử $a=max(a;b;c)$
$\rightarrow \frac{a^{2}}{2a^{2}+(b+c-a)^{2}} \leq \frac{a^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$
Xây dựng các bđt tương tự rồi cộng lại ta có 
$\sum \frac{a^{2}}{2a^{2}+(b+c-a)^{2}} \leq \sum \frac{a^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}=1$
Dấu '=' xảy ra $\leftrightarrow a=b=c$

 

Bạn giải thích rõ chỗ đấy đi khi a là số lớn nhất trong a;b;c thì thử a=3;b=2;c=1 thì $2b^{2}+(c+a-b)^{2}\leqslant a^{2}+b^{2}+c^{2}$ ?



#7
royal1534

royal1534

    Trung úy

  • Điều hành viên THCS
  • 773 Bài viết

Bạn giải thích rõ chỗ đấy đi khi a là số lớn nhất trong a;b;c thì thử a=3;b=2;c=1 thì $2b^{2}+(c+a-b)^{2}\leqslant a^{2}+b^{2}+c^{2}$ ?

Sorry,mình quên :(( :closedeyes:


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi royal1534: 23-09-2015 - 06:15


#8
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

Bài 1 : Cho a;b;c là các số thực dương . CMR : $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geqslant \sum \frac{2a+b}{a(a+2b)}$

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si:$(a+2b)^2=(\frac{2a+b}{2}+\frac{3a}{2})^2\geq 4.\frac{2a+b}{2}.\frac{3b}{2}=3b(2a+b)$

$\Rightarrow \frac{2a+b}{a(a+2b)}\leq \frac{a+2b}{3ab}$

Tương tự đối với các BĐT còn lại, ta được: $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{2a+b}{a\left ( a+2b \right )}+\frac{2b+c}{b\left ( b+2c \right )}+\frac{2c+a}{c\left ( c+2a \right )}$

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c 


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh