Chủ đề này có 7 trả lời

[Hoangtheson2611]

Bài 1 : Cho a;b;c là các số thực dương . CMR : $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geqslant \sum \frac{2a+b}{a(a+2b)}$

Bài 2 : Cho a;b;c là các số thực dương . CMR : $\sum \frac{a^{2}}{2a^{2}+(b+c-a)^{2}}\leqslant 1$

[HoangVanHaoQBP]

Cái latex của mình bị sida =)) thông cảm cái     

 

 

 

 

Bài 2 chuẩn hóa a+b+c=3 rồi xài tiếp tuyến nhé. bài 2 dễ. khỏi làm =))       

 

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~Thích Màu Đỏ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

[royal1534]

 

Bài 1 : Cho a;b;c là các số thực dương . CMR : $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geqslant \sum \frac{2a+b}{a(a+2b)}$

Bài 2 : Cho a;b;c là các số thực dương . CMR : $\sum \frac{a^{2}}{2a^{2}+(b+c-a)^{2}}\leqslant 1$

 

Bài 1:Đây chính là kĩ thuật ghép đối xứng trong sách của thầy Võ Quốc Bá Cẩn 

Ta đi chứng minh

$\frac{2}{a}+\frac{1}{b} \geq \frac{3(2a+b)}{a(a+2b)}$

$\leftrightarrow (2b+a)^{2} \geq 3b(2a+b)$

$\leftrightarrow 4b^{2}+4ab+a^{2} \geq 6ab+3b^{2}$

$\leftrightarrow (b-a)^{2} \geq 0$ (Đúng)

Tương tự ta có $\frac{2}{b}+\frac{1}{c} \geq \frac{3(2b+c)}{b(2c+b)}$

                $\frac{2}{c}+\frac{1}{a} \geq \frac{3(2c+a)}{c(2a+c)}$

Cộng 3 vế của các bất đẳng thức trên lại ta có 

$3(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) \geq 3(\frac{2a+b}{a(2b+a)}+\frac{2b+c}{b(2c+b)}+\frac{2c+a}{c(2a+c)})$

$\leftrightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \geq \frac{2a+b}{a(2a+b)}+\frac{2b+c}{b(2c+b)}+\frac{2c+a}{c(2a+c)}$

Bài 2:

Ta ch/m bđt phụ:$\frac{a^{2}}{2a^{2}+(b+c-a)^{2}} \leq \frac{a^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$

$\leftrightarrow 2a^{2}+(b+c-a)^{2} \geq a^{2}+b^{2}+c^{2}$

$\leftrightarrow 3a^{2}+b^{2}+c^{2}+2bc-2ab-2ac \geq a^{2}+b^{2}+c^{2}$

$\leftrightarrow 2a^{2}+2bc-2ab-2ac \geq 0$

$\leftrightarrow 2a(a-c)-2b(a-c)\geq 0$

$\leftrightarrow 2(a-c)(a-b) \geq 0$ 

BĐT trên luôn đúng khi ta giả sử $a=max(a;b;c)$

$\rightarrow \frac{a^{2}}{2a^{2}+(b+c-a)^{2}} \leq \frac{a^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$

Xây dựng các bđt tương tự rồi cộng lại ta có 

$\sum \frac{a^{2}}{2a^{2}+(b+c-a)^{2}} \leq \sum \frac{a^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}=1$

Dấu '=' xảy ra $\leftrightarrow a=b=c$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi royal1534: 21-09-2015 - 12:35

[royal1534]

Cái latex của mình bị sida =)) thông cảm cái     

 

 

 

 

Bài 2 chuẩn hóa a+b+c=3 rồi xài tiếp tuyến nhé. bài 2 dễ. khỏi làm =))       

 

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~Thích Màu Đỏ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

THCS thì chuẩn hóa làm sao    

[HoangVanHaoQBP]

THCS thì chuẩn hóa làm sao    

được mà =)) cứ thay a,b,c bằng ta,tb,tc là được. còn tiếp tuyến thì ngoài nháp thôi =)) xong ta dưng BĐT rồi bđ tương đương

[Hoangtheson2611]

 

 

 

Bài 1:Đây chính là kĩ thuật ghép đối xứng trong sách của thầy Võ Quốc Bá Cẩn 

Ta đi chứng minh

$\frac{2}{a}+\frac{1}{b} \geq \frac{3(2a+b)}{a(a+2b)}$

$\leftrightarrow (2b+a)^{2} \geq 3b(2a+b)$

$\leftrightarrow 4b^{2}+4ab+a^{2} \geq 6ab+3b^{2}$

$\leftrightarrow (b-a)^{2} \geq 0$ (Đúng)

Tương tự ta có $\frac{2}{b}+\frac{1}{c} \geq \frac{3(2b+c)}{b(2c+b)}$

                $\frac{2}{c}+\frac{1}{a} \geq \frac{3(2c+a)}{c(2a+c)}$

Cộng 3 vế của các bất đẳng thức trên lại ta có 

$3(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) \geq 3(\frac{2a+b}{a(2b+a)}+\frac{2b+c}{b(2c+b)}+\frac{2c+a}{c(2a+c)})$

$\leftrightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \geq \frac{2a+b}{a(2a+b)}+\frac{2b+c}{b(2c+b)}+\frac{2c+a}{c(2a+c)}$

Bài 2:

Ta ch/m bđt phụ:$\frac{a^{2}}{2a^{2}+(b+c-a)^{2}} \leq \frac{a^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$

$\leftrightarrow 2a^{2}+(b+c-a)^{2} \geq a^{2}+b^{2}+c^{2}$

$\leftrightarrow 3a^{2}+b^{2}+c^{2}+2bc-2ab-2ac \geq a^{2}+b^{2}+c^{2}$

$\leftrightarrow 2a^{2}+2bc-2ab-2ac \geq 0$

$\leftrightarrow 2a(a-c)-2b(a-c)\geq 0$

$\leftrightarrow 2(a-c)(a-b) \geq 0$ 

BĐT trên luôn đúng khi ta giả sử $a=max(a;b;c)$

$\rightarrow \frac{a^{2}}{2a^{2}+(b+c-a)^{2}} \leq \frac{a^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$

Xây dựng các bđt tương tự rồi cộng lại ta có 

$\sum \frac{a^{2}}{2a^{2}+(b+c-a)^{2}} \leq \sum \frac{a^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}=1$

Dấu '=' xảy ra $\leftrightarrow a=b=c$

 

Bạn giải thích rõ chỗ đấy đi khi a là số lớn nhất trong a;b;c thì thử a=3;b=2;c=1 thì $2b^{2}+(c+a-b)^{2}\leqslant a^{2}+b^{2}+c^{2}$ ?

[royal1534]

Bạn giải thích rõ chỗ đấy đi khi a là số lớn nhất trong a;b;c thì thử a=3;b=2;c=1 thì $2b^{2}+(c+a-b)^{2}\leqslant a^{2}+b^{2}+c^{2}$ ?

Sorry,mình quên (

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi royal1534: 23-09-2015 - 06:15

[KietLW9]

Bài 1 : Cho a;b;c là các số thực dương . CMR : $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geqslant \sum \frac{2a+b}{a(a+2b)}$

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si:$(a+2b)^2=(\frac{2a+b}{2}+\frac{3a}{2})^2\geq 4.\frac{2a+b}{2}.\frac{3b}{2}=3b(2a+b)$

$\Rightarrow \frac{2a+b}{a(a+2b)}\leq \frac{a+2b}{3ab}$

Tương tự đối với các BĐT còn lại, ta được: $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{2a+b}{a\left ( a+2b \right )}+\frac{2b+c}{b\left ( b+2c \right )}+\frac{2c+a}{c\left ( c+2a \right )}$

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c