$a_{1}=1; a_{n+1}=a_{n}+\frac{1}{\sum_{k=1}^{n}a_{k}}, n\geq 1$
$CMR: \lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{a_{n}}{\sqrt{2lnn}}=1$
p/s: ln là lê pe ý
$a_{1}=1; a_{n+1}=a_{n}+\frac{1}{\sum_{k=1}^{n}a_{k}}, n\geq 1$
$CMR: \lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{a_{n}}{\sqrt{2lnn}}=1$
p/s: ln là lê pe ý
$a_{1}=1; a_{n+1}=a_{n}+\frac{1}{\sum_{k=1}^{n}a_{k}}, n\geq 1$
$CMR: \lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{a_{n}}{\sqrt{2lnn}}=1$
bài này là BTVN của mình và sau đây là lời giải của thầy mình
dễ thấy $(a_n)$ là dãy tăng nên ta có
$a_{n+1}=a_n+\frac{1}{\sum a_i}>a_{n}+\frac{1}{na_n}\Rightarrow a_{n+1}^2>a_n^2+\frac{2}{n}$
$\Rightarrow a_{n+1}^2>a_{n-1}^2+\frac{2}{n}+\frac{2}{n-1}>...>a_1^2+2\left ( \frac{1}{n}+\frac{1}{n-1}+...+1 \right )\rightarrow +\infty$
$\Rightarrow \lim a_{n+1}^2=+\infty\Rightarrow \lim a_n=+\infty$
ta có
$\frac{a_{n+1}^2-a_n^2}{2\left ( \ln(n+1)-\ln(n) \right )}=\frac{\frac{2a_n}{\sum a_i}+\frac{1}{\left ( \sum a_i \right )^2}}{2\ln\left ( 1+\frac{1}{n} \right )}=\frac{\frac{na_n}{\sum a_i}+\frac{n}{\left ( \sum a_i \right )^2}}{\ln\left ( n+\frac{1}{n} \right )^n}$
dễ thấy
$\left\{\begin{matrix} \lim \frac{n}{2\left ( \sum a_i \right )^2}=0\\ \lim \left ( \ln \left ( 1+\frac{1}{n} \right )^n \right ) =1 \end{matrix}\right.$ $(1)$
đặt $b_n=\frac{\sum_{i=1}^{n}a_i}{a_n}$
$\Rightarrow b_{n+1}-b_n=\frac{\frac{1}{a_{n+1}-a_n}+a_{n+1}}{a_{n+1}}-\frac{1}{a_n(a_{n+1}-a_n)}=1-\frac{1}{a_{n+1}a_n}\rightarrow 1$
$\Rightarrow \lim \frac{b_n}{n}=1\Rightarrow \lim \frac{na_n}{\sum a_i}=1$ $(2)$
từ $(1),(2)$ ta có được $\lim \frac{a_n^2}{2\ln(n)}=\lim \frac{a_{n+1}^2-a_n^2}{2\left ( \ln(n+1)-\ln(n) \right )}=1$
vậy $\boxed{\lim \frac{a_n}{\sqrt{2\ln(n)}}}=1$
Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh