Chủ đề này có 1 trả lời

[Bichess]

$a_{1}=1; a_{n+1}=a_{n}+\frac{1}{\sum_{k=1}^{n}a_{k}}, n\geq 1$

$CMR: \lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{a_{n}}{\sqrt{2lnn}}=1$

 

 

 

 

 

 

 

p/s: ln là lê pe ý

[nhungvienkimcuong]

$a_{1}=1; a_{n+1}=a_{n}+\frac{1}{\sum_{k=1}^{n}a_{k}}, n\geq 1$

$CMR: \lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{a_{n}}{\sqrt{2lnn}}=1$

bài này là BTVN của mình và sau đây là lời giải của thầy mình

dễ thấy $(a_n)$ là dãy tăng nên ta có

$a_{n+1}=a_n+\frac{1}{\sum a_i}>a_{n}+\frac{1}{na_n}\Rightarrow a_{n+1}^2>a_n^2+\frac{2}{n}$

$\Rightarrow a_{n+1}^2>a_{n-1}^2+\frac{2}{n}+\frac{2}{n-1}>...>a_1^2+2\left ( \frac{1}{n}+\frac{1}{n-1}+...+1 \right )\rightarrow +\infty$

$\Rightarrow \lim a_{n+1}^2=+\infty\Rightarrow \lim a_n=+\infty$

ta có 

$\frac{a_{n+1}^2-a_n^2}{2\left ( \ln(n+1)-\ln(n) \right )}=\frac{\frac{2a_n}{\sum a_i}+\frac{1}{\left ( \sum a_i \right )^2}}{2\ln\left ( 1+\frac{1}{n} \right )}=\frac{\frac{na_n}{\sum a_i}+\frac{n}{\left ( \sum a_i \right )^2}}{\ln\left ( n+\frac{1}{n} \right )^n}$

dễ thấy 

$\left\{\begin{matrix} \lim \frac{n}{2\left ( \sum a_i \right )^2}=0\\ \lim \left ( \ln \left ( 1+\frac{1}{n} \right )^n \right ) =1 \end{matrix}\right.$       $(1)$

đặt $b_n=\frac{\sum_{i=1}^{n}a_i}{a_n}$

$\Rightarrow b_{n+1}-b_n=\frac{\frac{1}{a_{n+1}-a_n}+a_{n+1}}{a_{n+1}}-\frac{1}{a_n(a_{n+1}-a_n)}=1-\frac{1}{a_{n+1}a_n}\rightarrow 1$

$\Rightarrow \lim \frac{b_n}{n}=1\Rightarrow \lim \frac{na_n}{\sum a_i}=1$          $(2)$

từ $(1),(2)$ ta có được $\lim \frac{a_n^2}{2\ln(n)}=\lim \frac{a_{n+1}^2-a_n^2}{2\left ( \ln(n+1)-\ln(n) \right )}=1$

vậy $\boxed{\lim \frac{a_n}{\sqrt{2\ln(n)}}}=1$