Chủ đề này có 2 trả lời

[anhxtanh1879]

Cho $a, b, c, d \geq 1$ thoả mãn: $\frac{1}{1 + a^{3}} + \frac{1}{1 + b^{3}} + \frac{1}{1 + c^{3}} + \frac{1}{1 + d^{3}} = 1$. CMR:

$\frac{1 + a^{3}}{a} + \frac{1 + b^{3}}{b} + \frac{1 + c^{3}}{c} + \frac{1 + d^{3}}{d} \geq 4(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{d})$

 

[Longtunhientoan2k]

 Theo đề bài ta cần chứng minh BĐT...BĐT cần chứng minh sẽ tương đương với:

  $a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\geq \frac{3}{a}+\frac{3}{b}+\frac{3}{c}+\frac{3}{d}.$

Ta thấy:$a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+\frac{9}{a^{4}}+\frac{9}{b^{4}}+\frac{9}{c^{4}}+\frac{9}{d^{4}}\geq 2\sum \frac{3}{a}$

 Mặt khác,ta cũng có:$\frac{9}{a^{4}}+\frac{9}{b^{4}}+\frac{9}{c^{4}}+\frac{9}{d^{4}}\leq \sum \frac{3}{a}(\frac{1}{a}\leq 1)$

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=d=\sqrt[3]{3}$.Thế $a=b=c=d=\sqrt[3]{3}$ vào biểu thức cần thỏa mãn ta thấy đúng.

Vậy ta đã có điều phải chứng minh cho bài toán trên.

[QDV]

Không mất tính tổng quát đặt a$\geq$b$\geq$c$\geq d$, Khi đó

$\frac{1+a^{3}}{a}\geq \frac{1+a^{3}}{a}\geq \frac{1+a^{3}}{a}\geq \frac{1+a^{3}}{a}$

$\frac{1}{1+a^{3}}\leq \frac{1}{1+b^{3}}\leq \frac{1}{1+c^{3}}\leq \frac{1}{1+d^{3}}$

Theo becnuli

$\frac{1+a^{3}}{a}+\frac{1+b^{3}}{b}+\frac{1+c^{3}}{c}+\frac{1+d^{3}}{d}=(\frac{1}{1+a^{3}}+\frac{1}{1+b^{3}}+\frac{1}{1+c^{3}}+\frac{1}{1+d^{3}})(\frac{1+a^{3}}{a}+\frac{1+b^{3}}{b}+\frac{1+c^{3}}{c}+\frac{1+d^{3}}{d})\geq 4(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d})$