Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n là bội của 3 đều tồn tại các số nguyên x, y sao cho
$x^{2}-34y^{2}+1 \vdots n$
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n là bội của 3 đều tồn tại các số nguyên x, y sao cho
$x^{2}-34y^{2}+1 \vdots n$
Lời giải. Đặt $n=3^a \cdot b$ với $\gcd (b,3)=1$.
Khi đó tồn tại $j$ sao cho $3j \equiv 1 \pmod{b}$. Do đó $b \left | (5j)^2-34j^2+1 \right.$.
Ta cũng có $5^{\varphi(3^a)} \equiv 1 \pmod{3^a}$ nên $3^a \left | \left( 3 \cdot 5^{\varphi(3^a)-1} \right)^2-34 \left( 5^{\varphi(3^a)-1} \right)^2+1 \right.$.
Theo định lý thặng dư Trung Hoa thì luôn tồn tại $x,y$ nguyên thoả mãn hệ đồng dư $$\begin{cases} x \equiv 5j \pmod{m} \\ x \equiv 3 \cdot 5^{\varphi(3^a)-1} \pmod{3^a} \end{cases} \qquad \begin{cases} y \equiv j \pmod{m} \\ y \equiv 5^{\varphi(3^a)-1} \pmod{3^a} \end{cases}.$$
Bài toán được chứng minh. $\blacksquare$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Zaraki: 27-09-2015 - 08:17
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh