Tìm $\min {{x}^{3}}+{{y}^{3}}+{{z}^{3}}+{{x}^{2}}{{y}^{2}}{{z}^{2}}$ với x, y, z>0 và $\sum x= 3/2$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi mexanhmx: 29-09-2015 - 05:16
min $x^3+y^3+z^3+x^2y^2z^2$
Bắt đầu bởi mexanhmx, 29-09-2015 - 05:10
#2
Đã gửi 22-08-2021 - 08:05
KietLW9
-
- Điều hành viên THCS
-
- 1737 Bài viết
Đại úy
Đặt $S=x^3+y^3+z^3+x^2y^2z^2$
Ta đi chứng minh $S\geqslant \frac{25}{64}$
Đặt $x+y+z=p;xy+yz+zx=q;xyz=r$ thì $S=r^2+3r+(\frac{27}{8}-\frac{9}{2}q)$
Cần chứng minh: $f(r)=r^2+3r+(\frac{191}{64}-\frac{9}{2}q)\geqslant 0$
Dễ thấy $f(r)$ là hàm đồng biến mà theo Schur: $\frac{-3}{8}+\frac{2q}{3}=\frac{-p^3}{9}+\frac{4}{9}pq\leqslant r$
Do đó $f(r)\geqslant f(\frac{2q}{3}-\frac{3}{8})=\frac{(4q-3)(q-6)}{9}\geqslant 0$
Ta có điều phải chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{2}$
- Hoang72 yêu thích
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức 
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
