Chủ đề này có 7 trả lời

[bachmahoangtu2003]

Bài 1: Cho 3 số a,b,c thỏa $a^2+b^2+c^2=3$. Chứng minh rằng 

$a+b+c+ab+bc+ac\leq 6$

Bài 2: Cho $a,b,c> 0$. Chứng minh rằng:

$\frac{a^8+b^8+c^8}{a^3b^3c^3}\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

Bài 3: Cho 3 số $a,b,c \epsilon (0;1)$.Chứng minh rằng:

$a+b^2+c^3-ab-bc-ca<1$

Bài 4: Cho 3 số thực x,y,z thỏa xyz=1. Chứng minh rằng:

Nếu $x+y+z>\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$ thì trong ba số x,y,z có duy nhất 1 số lớn hơn 1.

Bài 5: Cho $x,y,z>0$ và x+y=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của $A=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{2}{xy}+4xy$.

 

[anhxtanh1879]

Bài 1: Cho 3 số a,b,c thỏa $a^2+b^2+c^2=3$. Chứng minh rằng 

$a+b+c+ab+bc+ac\leq 6$

1, $a^{2} + 1 \geq 2a; b^{2} + 1 \geq 2b; c^{2} + 1 \geq 2c; a^{2} + b^{2} \geq 2ab; b^{2} + c^{2} \geq 2bc; c^{2} + a^{2} \geq 2ca$

Cộng vế theo vế các bđt trên $\Rightarrow$ đpcm

[anhxtanh1879]

Bài 5: Cho $x,y,z>0$ và x+y=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của $A=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{2}{xy}+4xy$.

5, $A = (\frac{1}{x^{2} + y^{2}} + \frac{1}{2xy}) + \frac{1}{2xy} + (\frac{1}{xy} + 16xy) - 12xy \geq \frac{4}{(x + y)^{2}} + \frac{1}{2\frac{(x + y)^{2}}{4}} + 2\sqrt{16xy . \frac{1}{xy}} - 12.\frac{(x + y)^{2}}{4} = 4 + \frac{1}{\frac{1}{2}} + 2\sqrt{16} - 12.\frac{1}{4} = 11$

Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow x = y = \frac{1}{2}$

[anhxtanh1879]

Bài 4: Cho 3 số thực x,y,z thỏa xyz=1. Chứng minh rằng:

Nếu $x+y+z>\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$ thì trong ba số x,y,z có duy nhất 1 số lớn hơn 1.

4. Ta có: $x + y + z > \frac{xyz}{x} + \frac{xyz}{y} + \frac{xyz}{z}$

$\Leftrightarrow x + y + z > xy + yz + zx$

$\Leftrightarrow x + y + z - xy - yz - zx + xyz - 1 > 0$

$\Leftrightarrow (x - 1)(y - 1)(z - 1) > 0$

+) Cả 3 số đều dương $\Rightarrow x, y, z > 1 \Rightarrow xyz > 1$(loại)

+) Có 2 số âm, 1 số dương $\Rightarrow đpcm$

[HoangVienDuy]

2. áp dụng AM-GM ta có: 

$a^{8}+b^{8}+c^{8}\geq \sum a^{4}b^{4}\geq \sum a^{2}b^{4}c^{2}=a^{2}b^{2}c^{2}(b^{2}+a^{2}+c^{2})$

=> $\frac{a^{8}+b^{8}+c^{8}}{a^{3}b^{3}c^{3}}\geq \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{abc}\geq \frac{ab+bc+ca}{abc}=\sum \frac{1}{a}$

=> điều phải chứng minh 

[QDV]

Bài 3: Cho 3 số $a,b,c \epsilon (0;1)$.Chứng minh rằng:

$a+b^2+c^3-ab-bc-ca<1$

 Bài 3:

Đặt

$f_({a,b,c})=a+b^{2}+c^{3}-(ab+bc+ca)$

Dễ thấy vì $a,b,c \epsilon (0;1)$ nên hàm đạt giá trị lớn nhất khi $a\geq b\geq c$

$f_{(a.b.c)}=a(1-c)+b(b-a)+(c^{2}-ab)\leq a\leq 1$ (Đpcm)

Dấu "=" khi và chỉ khi a=1 , b=c=0

[bachmahoangtu2003]

5, $A = (\frac{1}{x^{2} + y^{2}} + \frac{1}{2xy}) + \frac{1}{2xy} + (\frac{1}{xy} + 16xy) - 12xy \geq \frac{4}{(x + y)^{2}} + \frac{1}{2\frac{(x + y)^{2}}{4}} + 2\sqrt{16xy . \frac{1}{xy}} - 12.\frac{(x + y)^{2}}{4} = 4 + \frac{1}{\frac{1}{2}} + 2\sqrt{16} - 12.\frac{1}{4} = 11$

Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow x = y = \frac{1}{2}$

Mình lại làm như thế này $A = (\frac{1}{x^{2} + y^{2}} + \frac{1}{2xy}) + \frac{1}{2xy} + (\frac{1}{xy} + 4xy) \geq \frac{4}{(x + y)^{2}} + \frac{1}{2\frac{(x + y)^{2}}{4}} + 2\sqrt{4xy . \frac{1}{xy}} = 4 + \frac{1}{\frac{1}{2}} + 4 = 10.$. Cho mình bết mình sai chỗ nào để rút kinh nghiệm 

[ttlinhtinh]

Mình lại làm như thế này $A = (\frac{1}{x^{2} + y^{2}} + \frac{1}{2xy}) + \frac{1}{2xy} + (\frac{1}{xy} + 4xy) \geq \frac{4}{(x + y)^{2}} + \frac{1}{2\frac{(x + y)^{2}}{4}} + 2\sqrt{4xy . \frac{1}{xy}} = 4 + \frac{1}{\frac{1}{2}} + 4 = 10.$. Cho mình bết mình sai chỗ nào để rút kinh nghiệm 

Quan trọng là nhóm như thế nào để dấu $=$ xảy ra.

Nếu nhóm như bạn thì dấu $=$ xảy ra khi: $\left\{\begin{matrix} x=y\\ 4x^2y^2=1\\ x+y=1 \end{matrix}\right.$ Hệ này vô nghiệm.