Chủ đề này có 2 trả lời

[phatthemkem]

1. Cho các số thực $x,y,z$ thỏa mãn $x+y+z=0.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$$P=3^{\left | x-y \right |}+3^{\left | y-z \right |}+3^{\left | z-x \right |}-\sqrt{6\left ( x^2+y^2+z^2 \right )}$$

2. Cho $x,y,z$ thỏa mãn $x+y+z=0$ và $x^2+y^2+z^2=1.$ Tìm giá trị lớn nhất của:

$$P=x^5+y^5+z^5$$

3. Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa $x+y+z=4$ và $xyz=3.$ CMR:

$$183-165\sqrt{5}\leq x^4+y^4+z^4 \leq 18$$

[QDV]

Tứ x+y+z=0, $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$$\Rightarrow x+y=-z, xy=z^{2}-\frac{1}{2}$

P=$\left ( x+y \right )\left \left [ \left ( x+y \right )^{4} \right -5xy\left ( x^{2}+y^{2} \right )-5\left ( xy \right )^{2}]+z^{5}$

  =$-z\left [ z^{4} \right-5\left ( z^{2} \right-1/2 )\left ( 1-z^{2} \right )-5\left ( z^{2} \right-1/2 )^{2} ]+z^{5}$

  =$5\left ( z^{3}-\frac{1}{2}z \right )$.

 Dễ dàng tìm được $P_{max}=\frac{5}{\left ( 3\sqrt{6} \right )} khi z=-\frac{1}{\sqrt{6}} ,(x;y)=(-\frac{1}{\sqrt{6}};\frac{2}{\sqrt{6}})$ và hoán vị. Vậy

$P_{max}=\frac{5}{3\sqrt{6}}$.khi (x;y;z) là hoán vị của bộ $\left ( -\frac{1}{\sqrt{6}};-\frac{1}{\sqrt{6}};\frac{2}{\sqrt{6}} \right )$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi QDV: 03-10-2015 - 15:29

[babylearnmathmv]

2. Cho $x,y,z$ thỏa mãn $x+y+z=0$ và $x^2+y^2+z^2=1.$ Tìm giá trị lớn nhất của:

$$P=x^5+y^5+z^5$$

Với $x+y+z=0$ dễ dàng cm $2(x^{5}+y^{5}+z^{5})=5xyz(x^{2}+y^{2}+z^{2})=5xyz$

Ta có: $1=x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq \frac{1}{2}.(x+y)^{2}+z^{2}=\frac{3}{2}.z^{2}$

$\Leftrightarrow z\leq \sqrt{3}$

$1=x^{2}+y^{2}+z^{2}=x^{2}+y^{2}+(x+y)^{2}\geq 6xy \Rightarrow xy\leq \frac{1}{6}$

$\Rightarrow 5xyz\leq 5\sqrt[6]{18}\Rightarrow x^{5}+y^{5}+z^{5}\leq 5\sqrt[6]{36}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi babylearnmathmv: 03-10-2015 - 21:04