Chủ đề này có 1 trả lời

[anhxtanh1879]

Cho $a, b, c > 0$ thoả mãn: $a \leq b \leq 3 \leq c, c \geq b + 1, a + b \geq c$. Tìm GTNN của biểu thức:

$Q = \frac{2ab + a + b + c(ab - 1)}{(a + 1)(b + 1)(c + 1)}$

[hoctrocuaHolmes]

Cho $a, b, c > 0$ thoả mãn: $a \leq b \leq 3 \leq c, c \geq b + 1, a + b \geq c$. Tìm GTNN của biểu thức:

$Q = \frac{2ab + a + b + c(ab - 1)}{(a + 1)(b + 1)(c + 1)}$

Ta có $Q=\frac{1}{c+1}+\frac{ab+abc-c-1}{( a+1 )( b+1)( c+1)}=\frac{1}{c+1}+\frac{ab-1}{( a+1)( b+1 )}=\frac{1}{c+1}+\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}-1=\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}-\frac{c}{c+1}$

Dự đoán dấu = xảy ra khi $c=3,b=2,a=1$ nên ta đi chứng minh 

$\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}-\frac{c}{c+1}\geq \frac{5}{12}\Leftrightarrow ( \frac{a}{a+1}-\frac{1}{2} )+( \frac{b}{b+1}-\frac{2}{3})+( \frac{3}{4}-\frac{c}{c+1} )\geq 0\Leftrightarrow \frac{a-1}{2a+2}+\frac{b-2}{3b+3}+\frac{3-c}{4c+4}\geq 0\Leftrightarrow ( 3-c)( \frac{1}{4c+4}-\frac{1}{3b+3} )+( 3-c+b-2)( \frac{1}{3b+3}-\frac{1}{2a+2})+( 3-c+b-2+a-1 )\frac{1}{2a+2}\geq 0\Leftrightarrow \frac{( c-3 )( 4c-3b+1)}{12( b+1)( c+1)}+\frac{( b+1-c )( 2a-3b-1)}{6( b+1)( a+1)}+\frac{a+b-c}{2a+2}\geq 0$

(luôn đúng theo giả thiết)

Vậy $Q_{min}=\frac{5}{12}$ khi $a=1;b=2;c=3$