Chủ đề này có 5 trả lời

[hoaadc08]

Tìm nghiệm dương x , y , z  của phương trình  $x^{2}+y^{2}+z^{2}+1+2xyz-2xy-2xz-2yz = 0$

[QDV]

Từ PT biến đổi được

$(x-y)^{2}+(z-1)^{2}+2z(1-x)(1-y)=0$ (1)

$(y-z)^{2}+(x-1)^{2}+2x(1-y)(1-z)=0$ (2)

$(z-x)^{2}+(y-1)^{2}+2y(1-z)(1-x)=0$ (3)

Dễ thấy PT có nghiệm (x;y;z)=(1;1;1)

Giả sử PT có bộ nghiệm khác bộ trên lúc đó có ít nhất hai ẩn cùng thuộc tập (0;1) hoặc (1;$\infty$).Từ (1).(2) hoặc (3) suy ra

$f_({x;y;z})> 0$ vô lý .Vậy PT chỉ có bộ nghiệm dương (x;y;z)=(1;1;1)

 

Tìm nghiệm dương x , y , z  của phương trình  $x^{2}+y^{2}+z^{2}+1+2xyz-2xy-2xz-2yz = 0$

ừ PT biến đổi được

$(x-y)^{2}+(z-1)^{2}+2z(1-x)(1-y)=0$ (1)

$(y-z)^{2}+(x-1)^{2}+2x(1-y)(1-z)=0$ (2)

$(z-x)^{2}+(y-1)^{2}+2y(1-z)(1-x)=0$ (3)

Dễ thấy PT có nghiệm (x;y;z)=(1;1;1)

Giả sử PT có bộ nghiệm khác bộ trên lúc đó có ít nhất hai ẩn cùng thuộc tập (0;1) hoặc (1;$\infty$).Từ (1).(2) hoặc (3) suy ra

$f_({x;y;z})> 0$ vô lý .Vậy PT chỉ có bộ nghiệm dương (x;y;z)=(1;1;1)

[hoaadc08]

Từ PT biến đổi được
$(x-y)^{2}+(z-1)^{2}+2z(1-x)(1-y)=0$ (1)
$(y-z)^{2}+(x-1)^{2}+2x(1-y)(1-z)=0$ (2)
$(z-x)^{2}+(y-1)^{2}+2y(1-z)(1-x)=0$ (3)
Dễ thấy PT có nghiệm (x;y;z)=(1;1;1)
Giả sử PT có bộ nghiệm khác bộ trên lúc đó có ít nhất hai ẩn cùng thuộc tập (0;1) hoặc (1;$\infty$).Từ (1).(2) hoặc (3) suy ra
$f_({x;y;z})> 0$ vô lý .Vậy PT chỉ có bộ nghiệm dương (x;y;z)=(1;1;1)
 

ừ PT biến đổi được
$(x-y)^{2}+(z-1)^{2}+2z(1-x)(1-y)=0$ (1)
$(y-z)^{2}+(x-1)^{2}+2x(1-y)(1-z)=0$ (2)
$(z-x)^{2}+(y-1)^{2}+2y(1-z)(1-x)=0$ (3)
Dễ thấy PT có nghiệm (x;y;z)=(1;1;1)
Giả sử PT có bộ nghiệm khác bộ trên lúc đó có ít nhất hai ẩn cùng thuộc tập (0;1) hoặc (1;$\infty$).Từ (1).(2) hoặc (3) suy ra
$f_({x;y;z})> 0$ vô lý .Vậy PT chỉ có bộ nghiệm dương (x;y;z)=(1;1;1)

BẠN CÓ THỂ GIẢI THÍCH RÕ HƠN BƯỚC CHƯNG MINH NGHIỆM DUY NHẤT KHÔNG ?

[hoaadc08]

Tôi làm rõ ý CM Pt có nghiệm duy nhất :
Nếu x > 1 thì từ pt1 cho 0< y < 1 , suy ra z > 1 ( từ pt 2 ) , suy ra : x < 1 ( từ pt 3 ) . Vô lý ! . Vậy phải có : x= 1 . Thay vào pt 1 cho : y = z = 1 .
Lý luận tương tự với 0 < x < 1 .
Suy ra ĐPCM

[QDV]

BẠN CÓ THỂ GIẢI THÍCH RÕ HƠN BƯỚC CHƯNG MINH NGHIỆM DUY NHẤT KHÔNG ?

Giả sử x.y cùng thuộc tập (0;1) hoặc (1;$\infty$) lúc đó 2z(1-x)(1-y)>0 suy ra $f_{(x;y;z)}=(x-y)^{2}+(z-1)^{2}+2z(1-x)(1-y)> 0$

 

Vậy

[hoaadc08]

Giả sử x.y cùng thuộc tập (0;1) hoặc (1;$\infty$) lúc đó 2z(1-x)(1-y)>0 suy ra $f_{(x;y;z)}=(x-y)^{2}+(z-1)^{2}+2z(1-x)(1-y)> 0$
 
Vậy

BẠN CẦN LẬP LUẬN THÊM CHO MỌI NGƯỜI RÕ :
Trong 3 số x , y , z phải có 2 số cùng thuộc khoảng (0;1) hoặc ( 1;+oo)