Chủ đề này có 10 trả lời

[thanhdat3001]

CHỨNG MINH $\sqrt{\frac{2y}{x+y}}+\sqrt{\frac{2z}{z+y}}+\sqrt{\frac{2x}{x+z}} \leq 3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thanhdat3001: 21-10-2015 - 18:12

[huonggiang121]

Xét $\sqrt{\frac{x+y}{2y}}\geq \sqrt{\frac{2\sqrt{xy}}{2y}}= \sqrt[4]{\frac{x}y{}}$ (BĐT AM-GM cho 2 số)

Chứng minh tương tự ta được: $\sqrt{\frac{z+y}{2z}}\geq \sqrt[4]{\frac{y}{z}} ; \sqrt{\frac{x+z}{2x}}\geq \sqrt[4]{\frac{z}{x}}$

Áp dụng AM=GM cho 3 số k âm:

$\sqrt{\frac{x+y}{2y}}+\sqrt{\frac{z+y}{2z}}+\sqrt{\frac{x+z}{2x}}\geq \sqrt[4]{\frac{x}{y}}+\sqrt[4]{\frac{y}{z}}+\sqrt[4]{\frac{z}{x}}\geq 3.\sqrt[3]{\sqrt[4]{\frac{x.y.z}{y.z.x}}}=3$

Mà 

[royal1534]

Xét $\sqrt{\frac{x+y}{2y}}\geq \sqrt{\frac{2\sqrt{xy}}{2y}}= \sqrt[4]{\frac{x}y{}}$ (BĐT AM-GM cho 2 số)

Chứng minh tương tự ta được: $\sqrt{\frac{z+y}{2z}}\geq \sqrt[4]{\frac{y}{z}} ; \sqrt{\frac{x+z}{2x}}\geq \sqrt[4]{\frac{z}{x}}$

Áp dụng AM=GM cho 3 số k âm:

$\sqrt{\frac{x+y}{2y}}+\sqrt{\frac{z+y}{2z}}+\sqrt{\frac{x+z}{2x}}\geq \sqrt[4]{\frac{x}{y}}+\sqrt[4]{\frac{y}{z}}+\sqrt[4]{\frac{z}{x}}\geq 3.\sqrt[3]{\sqrt[4]{\frac{x.y.z}{y.z.x}}}=3$

Mà 

Đọc lại đề đi.chứng minh cái gì đây  

P/s:cũng muốn viết lời giải lắm nhưng sợ mỏi tay 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi royal1534: 21-10-2015 - 19:21

[thanhdat3001]

Đọc lại đề đi.chứng minh cái gì đây  

P/s:cũng muốn viết lời giải lắm nhưng sợ mỏi tay 

giúp với ạ!

[thanhdat3001]

Xét $\sqrt{\frac{x+y}{2y}}\geq \sqrt{\frac{2\sqrt{xy}}{2y}}= \sqrt[4]{\frac{x}y{}}$ (BĐT AM-GM cho 2 số)

Chứng minh tương tự ta được: $\sqrt{\frac{z+y}{2z}}\geq \sqrt[4]{\frac{y}{z}} ; \sqrt{\frac{x+z}{2x}}\geq \sqrt[4]{\frac{z}{x}}$

Áp dụng AM=GM cho 3 số k âm:

$\sqrt{\frac{x+y}{2y}}+\sqrt{\frac{z+y}{2z}}+\sqrt{\frac{x+z}{2x}}\geq \sqrt[4]{\frac{x}{y}}+\sqrt[4]{\frac{y}{z}}+\sqrt[4]{\frac{z}{x}}\geq 3.\sqrt[3]{\sqrt[4]{\frac{x.y.z}{y.z.x}}}=3$

Mà 

không nói lên được điều gì ạ!

[anhxtanh1879]

CHỨNG MINH $\sqrt{\frac{2y}{x+y}}+\sqrt{\frac{2z}{z+y}}+\sqrt{\frac{2x}{x+z}} \leq 3$

Đã có tại đây

http://diendanthpt.f....com/t144-topic

[Trung Gauss]

Theo Cauchy Schwarz: $$\left( \sum \sqrt{ \dfrac{y}{x+y} }\right)^2 \le \sum \dfrac{y}{(y+z)(x+y)}. \sum (y+z)=\dfrac{4(x+y+z)(xy+yz+zx)}{(x+y)(y+z)(z+x)}$$

Tới đây áp dụng BDT quen thuộc: $$8(x+y+z)(xy+yz+zx)\le 9(x+y)(y+z)(z+x)$$ là có đpcm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Trung Gauss: 21-10-2015 - 20:15

[thanhdat3001]

Đã có tại đây

http://diendanthpt.f....com/t144-topic

thanks BÁC!

[royal1534]

giúp với ạ!

Bài này còn có 1 cách giải bằng sử dụng điểm rơi trong bđt AM-GM.Khá dài nên mình không post (hoặc khi nào ngồi rảnh sẻ post) 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi royal1534: 21-10-2015 - 20:35

[thanhdat3001]

Theo Cauchy Schwarz: $$\left( \sum \sqrt{ \dfrac{y}{x+y} }\right)^2 \le \sum \dfrac{y}{(y+z)(x+y)}. \sum (y+z)=\dfrac{4(x+y+z)(xy+yz+zx)}{(x+y)(y+z)(z+x)}$$

Tới đây áp dụng BDT quen thuộc: $$8(x+y+z)(xy+yz+zx)\le 9(x+y)(y+z)(z+x)$$ là có đpcm.

không hiểu phần $\=\dfrac{4(x+y+z)(xy+yz+zx)}{(x+y)(y+z)(z+x)}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thanhdat3001: 21-10-2015 - 21:06

[Trung Gauss]

không hiểu phần $\=\dfrac{4(x+y+z)(xy+yz+zx)}{(x+y)(y+z)(z+x)}$

$$\sum \dfrac{y}{(y+z)(x+y)}. \sum (y+z)=\sum \dfrac{y(z+x)}{(y+z)(x+y)}.\sum (y+z) =\dfrac{4(x+y+z)(xy+yz+zx)}{(x+y)(y+z)(z+x)}$$