Chủ đề này có 1 trả lời

[CaptainCuong]

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $P=x\sqrt{6-x}+(5-x)\sqrt{x+1}$, với $0\leq x\leq 5$.

(Trích đề thi HSG quận 1 TPHCM năm 2015-2016)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi CaptainCuong: 22-10-2015 - 18:16

[shinichikudo201]

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $P=x\sqrt{6-x}+(5-x)\sqrt{x+1}$, với $0\leq x\leq 5$.

(Trích đề thi HSG quận 1 TPHCM năm 2015-2016)

Đặt $\left\{\begin{matrix} x=a & \\ 5-x=b& \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a+b=5;a;b\geq 0 & \\ P=a\sqrt{b+1}+b\sqrt{a+1}& \end{matrix}\right.$

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

$P^2= (\sqrt{a}.\sqrt{a(b+1)}+\sqrt{b}.\sqrt{b(a+1)})^{2}\leq (a+b)[a(b+1)+b(a+1)]= 5(2ab+5)$

ngoài ra với $2ab\leq 2(\frac{a+b}{2})^2= \frac{25}{2}$ ta suy ra được $max P=\frac{5\sqrt{14}}{2}$ đạt được tại $a=b=\frac{5}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi shinichikudo201: 22-10-2015 - 20:47