Chủ đề này có 3 trả lời

[royal1534]

Dạo này thấy box BĐT ít hoạt động quá nên để hâm nóng mời các bạn xơi 2 bài bất đẳng thức mình mới chế:

a,Cho x,y,z>0. Chứng minh $\frac{x^{3}z}{y^{3}x+y^{2}z^{2}}+\frac{y^{3}x} {z^{3}y+z^{2}x^{2}}+\frac{z^{3}y}{x^{3}z+x^{2}y^{2}} \geq \frac{3}{2}$

b,Cho a,b,c>0.Chứng minh $\frac{ab^{2}}{c^{2}(b+c)}+\frac{bc^{2}}{a^{2}(c+a)}+\frac{ca^{2}}{b^{2}(a+b)}\geq \frac{3}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi royal1534: 26-10-2015 - 16:42

[huy2403exo]

b,Cho a,b,c>0.Chứng minh $\frac{ab^{2}}{c^{2}(b+c)}+\frac{bc^{2}}{a^{2}(c+a)}+\frac{ca^{2}}{b^{2}(a+b)}\geq \frac{3}{2}$

$VT\Leftrightarrow \sum \frac{\frac{b^2}{c^2}}{\frac{b+c}{a}}\geq \frac{(\sum \frac{a}{b})^2}{\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}}\geq \frac{3}{2}$

nên cần chứng minh $\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\leq \frac{c}{a}+\frac{a}{b}+\frac{b}{c}$ 

$\Leftrightarrow (a-b)(b-c)(c-a)\geq 0$ (*)

Xét 3 hiệu trên chỉ có 2 trường hợp $\geq 0$ hoặc $\leq 0$ nên có ít nhất 2 hiệu cùng 1 tính chất trên

Giả sử

TH1:  Cả 3 cùng không dương $\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a\leq b\\ b\leq c\\ c\leq a\\ \end{matrix}\right.$ $\Rightarrow a=b=c$. Đây là trường hợp dấu bằng

TH2: Cả 3 cùng không âm => tương tự trên

TH3: Có 2 hiệu $\geq0$ => hiệu còn lại $\leq0$ Giả sử $a-b;b-c\geq 0\Rightarrow c-a\leq 0\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a\geq b\\ b\geq c\\ c\leq a\\ \end{matrix}\right. => a=b=c$

TH4 : Có 2 hiệu $\leq 0$ hiệu còn lại $\geq 0$ hiển nhiên bất đẳng thức (*) đúng

Vậy bất đẳng thức trên đúng . Dấu bằng khi $a=b=c$

Quay lại bài $\Leftrightarrow VT\geq \frac{(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})^2}{2(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})}=\frac{\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}}{2}\geq \frac{3}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huy2403exo: 26-10-2015 - 18:08

[hoanglong2k]

$VT\Leftrightarrow \sum \frac{\frac{b^2}{c^2}}{\frac{b+c}{a}}\geq \frac{(\sum \frac{a}{b})^2}{\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}}\geq \frac{3}{2}$

nên cần chứng minh $\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\leq \frac{c}{a}+\frac{a}{b}+\frac{b}{c}$ 

 

 

 Sai với $a=3;b=2;c=1$

 

Dạo này thấy box BĐT ít hoạt động quá nên để hâm nóng mời các bạn xơi 2 bài bất đẳng thức mình mới chế:

a,Cho x,y,z>0. Chứng minh $\frac{x^{3}z}{y^{3}x+y^{2}z^{2}}+\frac{y^{3}x} {z^{3}y+z^{2}x^{2}}+\frac{z^{3}y}{x^{3}z+x^{2}y^{2}} \geq \frac{3}{2}$

b,Cho a,b,c>0.Chứng minh $\frac{ab^{2}}{c^{2}(b+c)}+\frac{bc^{2}}{a^{2}(c+a)}+\frac{ca^{2}}{b^{2}(a+b)}\geq \frac{3}{2}$

 a) Ta có :

$\sum \frac{x^3z}{y^3x+y^2z^2}=\sum \dfrac{\dfrac{x^2}{y^2}}{\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{x}}\geq \dfrac{\left (\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{x}\right )^2}{2\left (\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{x}\right )}=\dfrac{\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{x}}{2}\geq \frac{3}{2}$

 b) Ta có :$\sum \frac{ab^{2}}{c^{2}(b+c)}=\sum \dfrac{y^2}{yz+z}\geq \frac{(x+y+z)^2}{xy+yz+zx+x+y+z}$

 Với $x=\frac{a}{b};y=\frac{b}{c};z=\frac{c}{a}$

  Cần chứng minh $\frac{(x+y+z)^2}{xy+yz+zx+x+y+z}\geq \frac{3}{2}\Leftrightarrow \sum \left ( 2x^2+\frac{1}{x}\right )\geq 3\sum x$

 Luôn đúng theo AM-GM

[royal1534]

 Sai với $a=3;b=2;c=1$

 

 a) Ta có :

$\sum \frac{x^3z}{y^3x+y^2z^2}=\sum \dfrac{\dfrac{x^2}{y^2}}{\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{x}}\geq \dfrac{\left (\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{x}\right )^2}{2\left (\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{x}\right )}=\dfrac{\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{x}}{2}\geq \frac{3}{2}$

 b) Ta có :$\sum \frac{ab^{2}}{c^{2}(b+c)}=\sum \dfrac{y^2}{yz+z}\geq \frac{(x+y+z)^2}{xy+yz+zx+x+y+z}$

 Với $x=\frac{a}{b};y=\frac{b}{c};z=\frac{c}{a}$

  Cần chứng minh $\frac{(x+y+z)^2}{xy+yz+zx+x+y+z}\geq \frac{3}{2}\Leftrightarrow \sum \left ( 2x^2+\frac{1}{x}\right )\geq 3\sum x$

 Luôn đúng theo AM-GM

Bài a thì bác Long làm chuẩn rồi

Bài b còn 1 cách giải nửa như sau:

$VT=\sum \frac{\frac{a^{2}b^{2}}{c^{2}}}{ab+ac} \geq \frac{(\sum \frac{ab}{c})^{2}}{2(ab+bc+ca)}$

Ta sẽ chứng minh $\sum \frac{ab}{c} \geq a+b+c$

Theo bất đẳng thức AM-GM ta có 

$\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a} \geq 2\sqrt{\frac{ab}{c}.\frac{bc}{a}}=2b$

Thiết lập các bđt tương tự và cộng lại ta có đpcm

$\rightarrow VT \geq \frac{(a+b+c)^{2}}{2(ab+bc+ca)} \geq \frac{3(ab+bc+ca)}{2(ab+bc+ca)}=\frac{3}{2}$