27 replies to this topic

[royal1534]

Khuấy động box BĐT nào 

Bài toán 1:

Cho $a,b,c$ dương thỏa $a+b+c=3$.Chứng minh $\frac{b+1}{a+b+1}+\frac{c+1}{b+c+1}+\frac{a+1}{c+a+1} \geq 2 $

Bài toán 2:

Cho các số dương $a,b,c>$  thoả $a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc=4$.Chứng minh $a+b+c \leq 3 $ (Giải bằng nhiều cách ) 

Edited by royal1534, 29-10-2015 - 13:16.

[huy2403exo]

Bài toán 2:

Cho a,b>0 thoả $a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc=4$.Chứng minh $a+b+c \leq 3 $ (Giải bằng nhiều cách ) 

Dễ thấy đổi biến rồi

Từ giả thiết đặt $a=\frac{2x}{y+z}$ , $b=\frac{2y}{x+z}$ , $z=\frac{2z}{x+y}$

$\Leftrightarrow a+b+c=2\sum \frac{x}{y+z}\geq 2.\frac{3}{2}=3$

xem lại đề cậu ơi 

[royal1534]

Dễ thấy đổi biến rồi

Từ giả thiết đặt $a=\frac{2x}{y+z}$ , $b=\frac{2y}{x+z}$ , $z=\frac{2z}{x+y}$

$\Leftrightarrow a+b+c=2\sum \frac{x}{y+z}\geq 2.\frac{3}{2}=3$

xem lại đề cậu ơi 

Giả thiết là $a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc=4$.Làm sao đặt$ a=\frac{2x}{y+z}..b=....c=...  $được 

Edited by royal1534, 28-10-2015 - 23:27.

[huy2403exo]

Giả thiết là $a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc=4$.Làm sao đặt$ a=\frac{2x}{y+z}..b=....c=...  $được 

Quên điều kiện $x+y+z=1$

[royal1534]

Quên điều kiện $x+y+z=1$

Bài này có 1 cách đặt ẩn phụ.Nhưng không phải đặt như cậu

P/s:Ngày mai không ai giải thì mình sẽ giải 

Edited by royal1534, 28-10-2015 - 23:42.

[Phanbalong]

cho mình hỏi có phải $a,b,c\geq 0 hay là a,b,c> 0$

[Phanbalong]

Dễ thấy đổi biến rồi

Từ giả thiết đặt $a=\frac{2x}{y+z}$ , $b=\frac{2y}{x+z}$ , $z=\frac{2z}{x+y}$

$\Leftrightarrow a+b+c=2\sum \frac{x}{y+z}\geq 2.\frac{3}{2}=3$

xem lại đề cậu ơi 

cách đặt này dùng khi là xy+yz+zx+xyz=4 chư $x^{2}+y^{2}+z^{2}$ thì ko được thì phải

[Phanbalong]

Làm dại dại không biết đúng không nữa     

Attached Images

• 

[Phanbalong]

Cách của mình sai rồi 

Edited by Phanbalong, 29-10-2015 - 16:18.

[khunglongbaochua]

Không biết đúng không nữa , mong các bạn góp ý 
P/s : Chữ xấu , các bạn thông cảm     

làm sao để có $\sum a^{2}+\sum ab + 3\sum a+3=\frac{1}{2}(a+b+c+3)^{2}$ được

[royal1534]

Làm dại dại không biết đúng không nữa     

Mình không rõ bài bạn làm thế nào nhưng rõ ràng.Đó không phải là lời giải đẹp nhất cho bài toán này

[Phanbalong]

Mình không rõ bài bạn làm thế nào nhưng rõ ràng.Đó không phải là lời giải đẹp nhất cho bài toán này

Chắc chắn là như vậy rồi     

[Phanbalong]

làm sao để có $\sum a^{2}+\sum ab + 3\sum a+3=\frac{1}{2}(a+b+c+3)^{2}$ được

Xin lỗi bạn , hình như mình làm sai , để mình kiểm tra lại

Edited by Phanbalong, 29-10-2015 - 15:54.

[Phanbalong]

Thôi để làm bài 2 cách khác vậy       . Mong cách này đúng
Từ điều kiện suy ra $0\leq a,b,c\leq 2$ . , Theo BĐT AM-GM , ta có :
$27\sum (2-a)\leq (\sum 2-a)^3$ 
$\Leftrightarrow 27\left [ 8-4(\sum a)+\left ( 2\sum ab \right )-abc\right ]\leq \left ( 8-a-b-c \right )^3$
$\Leftrightarrow 27\left [ 8-4\sum a+2\sum ab+\sum a^2-4 \right ]\leq (8-a-b-c)^{3}$
$\Leftrightarrow 27\left [ 4-4\sum a+\left ( \sum a \right )^2 \right ]\leq (8-a-b-c)^{3}$
Đặt $a+b+c=k, k\geq 0$ suy ra 
$\Leftrightarrow 27(k^2-4k+4)\leq (6-k)^3$
$\Leftrightarrow (k-3)(k+6)^2\leq 0\Leftrightarrow k\leq 3$
Vậy suy ra điều phải chứng minh 

Edited by Phanbalong, 29-10-2015 - 16:42.

[Phanbalong]

Nói về cách thư nhất là mình sử dụng ứng dụng của hàm số bậc nhất trong chứng minh bất đẳng thức , mình cũng đã từng sử dụng để chứng minh những bài tương tự thế này , tuy nhiên mình cũng không rõ là cách làm tren có đúng không, mong các bạn cho nhận xét , để mình viết lại latex cho dễ nhìn :
Ta giả sử : $a,b,c> 3$ , suy ra 
$4=(b+c)^2-2bc+a^2+abc> (3-a)^2+a^2+bc(a-2)$
$\Rightarrow (3-a)^2+a^2+bc(a-2)-4< 0$
$\Leftrightarrow bc(a-2)+2a^2-6a+5< 0$(1)
Ta đặt $bc=t$ , $t> 0$ . $t\leq (\frac{b+c}{2})^2< (\frac{a-3}{2})^2$ 
Vậy $t$ xác định trong khoảng $\left ( 0,\left ( \frac{a-3}{2} \right )^{2} \right )$, mà trong khoảng này thì (1) luôn lớn hơn 0.
Vậy suy ra điều giả sử sai , suy ra ĐPCM

Edited by Phanbalong, 29-10-2015 - 16:59.

[Trang Luong]

Khuấy động box BĐT nào 

Bài toán 1:

Cho $a,b,c$ dương thỏa $a+b+c=3$.Chứng minh $\frac{b+1}{a+b+1}+\frac{c+1}{b+c+1}+\frac{a+1}{c+a+1} \geq 2 $

Bài toán 2:

Cho các số dương $a,b,c>$  thoả $a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc=4$.Chứng minh $a+b+c \leq 3 $ (Giải bằng nhiều cách ) 

Đặt $a=2\sqrt{\frac{yz}{(x+y)(x+z)}},b=2\sqrt{\frac{xz}{(y+x)(y+z)}},c=2\sqrt{\frac{xy}{(z+x)(z+y)}}$ với $x,y,z>0$

[Phanbalong]

Thử đổi ngược đề câu 2 xem nào , Cho$a,b,c$ thực ko âm thỏa mãn : $a+b+c=3$. Chứng minh :$a^2+b^2+c^2+abc\geq 4$     
Câu này mình nghĩ sẽ dễ hơn câu gốc 

Edited by Phanbalong, 29-10-2015 - 17:20.

[royal1534]

Thử đổi ngược đề câu 2 xem nào , Cho$a,b,c$ thực ko âm thỏa mãn : $a+b+c=3$. Chứng minh :$a^2+b^2+c^2+4abc\geq 4$     
Câu này mình nghĩ sẽ dễ hơn câu gốc 

Phải là abc thôi chứ nhỉ. 

P/s:Tối nay post lời giải đẹp cho cả 3 bài 

[Phanbalong]

Phải là abc thôi chứ nhỉ. 

P/s:Tối nay post lời giải đẹp cho cả 3 bài 

Lộn :V , sorry :v

Edited by Phanbalong, 29-10-2015 - 17:19.

[OiDzOiOi]

Bài 1:

Ta chứng minh được $\frac{a}{b+1}+\frac{b}{c+1}+\frac{c}{a+1}\geq \frac{3}{2}$

Do đó $\sum \frac{b+1}{a+b+1}=\sum \frac{1}{\frac{a+b+1}{b+1}}\geq \frac{9}{\sum \frac{a}{b+1}+1}\geq 2$