Chủ đề này có 27 trả lời

[OiDzOiOi]

Ặc.Sai rồi

[royal1534]

Bài 1:

Ta chứng minh được $\frac{a}{b+1}+\frac{b}{c+1}+\frac{c}{a+1}\geq \frac{3}{2}$

Do đó $\sum \frac{b+1}{a+b+1}=\sum \frac{1}{\frac{a+b+1}{b+1}}\geq \frac{9}{\sum \frac{a}{b+1}+1}\geq 2$

Ngược dấu rồi nha bác   

[81NMT23]

Bài 2: 

Có: $a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc=4\Rightarrow 4\geqslant 4\sqrt[4]{abc^{3}}\Rightarrow abc\leqslant 1$

$abc\leqslant 1\Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}\geqslant 3$

tiếp tục : $a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc=4\Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}+\frac{1}{3}(ab+bc+ca)+abc= 4+\frac{1}{3}(ab+bc+ca)$

Mà: $\frac{1}{3}(ab+bc+ca)\geqslant\sqrt[3]{abc^{2}}\geqslant abc ( do abc\leqslant 1)$

$\Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}+\frac{1}{3}(ab+bc+ca)\leqslant 4$

$\Rightarrow \frac{1}{6}(2ab+2bc+2ca+a^{2}+b^{2}+c^{2})+\frac{5}{6}(a^{2}+b^{2}+c^{2})\leqslant 4$

$\Rightarrow \frac{1}{6}(a+b+c)^{2}+\frac{5}{6}(a^{2}+b^{2}+c^{2})\leqslant 4$

mà $\frac{5}{6}(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geqslant \frac{5}{2}$

$\Rightarrow \frac{1}{6}(a+b+c)^{2}\leqslant \frac{3}{2}$

$\Rightarrow a+b+c\leqslant 3$

 

Dấu ''='' xảy ra khi a=b=c=1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 81NMT23: 29-10-2015 - 22:18

[khunglongbaochua]

 

Bài 2: 

Có: a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc=4\Rightarrow 4\geqslant 4\sqrt[4]{abc^{3}}\Rightarrow abc\leqslant 1

abc\leqslant 1\Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}\geqslant 3

tiếp tục : a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc=4\Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}+\frac{1}{3}(ab+bc+ca)+abc= 4+\frac{1}{3}(ab+bc+ca)

Mà: \frac{1}{3}(ab+bc+ca)\geqslant\sqrt[3]{abc^{2}}\geqslant abc ( do abc\leqslant 1)

\Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}+\frac{1}{3}(ab+bc+ca)\leqslant 4

\Rightarrow \frac{1}{6}(2ab+2bc+2ca+a^{2}+b^{2}+c^{2})+\frac{5}{6}(a^{2}+b^{2}+c^{2})\leqslant 4

\Rightarrow \frac{1}{6}(a+b+c)^{2}+\frac{5}{6}(a^{2}+b^{2}+c^{2})\leqslant 4

mà \frac{5}{6}(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geqslant \frac{5}{2}

\Rightarrow \frac{1}{6}(a+b+c)^{2}\leqslant \frac{3}{2}

\Rightarrow a+b+c\leqslant 3

 

Dấu ''='' xảy ra khi a=b=c=1

 

ko dịch được 

[81NMT23]

Bạn đợi 1 lúc đi.

nếu ko được thì copy vao latex xem

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 81NMT23: 29-10-2015 - 22:11

[81NMT23]

bài 1:

Biến đổi tương đương:

$\frac{b+1}{a+b+1}+ \frac{c+1}{b+c+1} + \frac{a+1}{a+c+1} \geqslant2$

$\Leftrightarrow \frac{2(b+1)}{a+b+1} + \frac{2(c+1)}{b+c+1} + \frac{2(a+1)}{a+c+1} \geqslant 4$

$\Leftrightarrow  \frac{b+1-a}{a+b+1} + \frac{c+1-b}{b+c+1} + \frac{a+1-c}{a+c+1} \geqslant 1$

Có:

$\frac{b+1-a}{a+b+1} + \frac{c+1-b}{b+c+1} + \frac{a+1-c}{a+c+1}= \frac{(b+1-a)^{2}}{(a+b+1)(b+1-a)} + \frac{(c+1-b)^{2}}{(b+c+1)(c+1-b)} + \frac{(a+1-c)^{2}}{(a+c+1)(a+1-c)}$

Sử dụng Bđt Bunhiacopski dang cộng mẫu engel ta có:

$\frac{(b+1-a)^{2}}{(a+b+1)(b+1-a)} + \frac{(c+1-b)^{2}}{(b+c+1)(c+1-b)} + \frac{(a+1-c)^{2}}{(a+c+1)(a+1-c)} \geqslant \frac{(a+b+c)^{2}}{(a+b+1)(b+1-a)+(b+c+1)(c+1-b)+(a+c+1)(a+1-c)} $= $\frac{(a+b+c}^{2}}{2a+2b+2c+3}$=1

Suy ra $\frac{b+1-a}{a+b+1} + \frac{c+1-b}{b+c+1} + \frac{a+1-c}{a+c+1} \geqslant 1$

suy ra đpcm

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 81NMT23: 29-10-2015 - 22:52

[royal1534]

 

bài 1:

Biến đổi tương đương:

$\frac{b+1}{a+b+1}+ \frac{c+1}{b+c+1} + \frac{a+1}{a+c+1} \geqslant2$

$\Leftrightarrow \frac{2(b+1)}{a+b+1} + \frac{2(c+1)}{b+c+1} + \frac{2(a+1)}{a+c+1} \geqslant 4$

$\Leftrightarrow  \frac{b+1-a}{a+b+1} + \frac{c+1-b}{b+c+1} + \frac{a+1-c}{a+c+1} \geqslant 1$

Có:

$\frac{b+1-a}{a+b+1} + \frac{c+1-b}{b+c+1} + \frac{a+1-c}{a+c+1}= \frac{(b+1-a)^{2}}{(a+b+1)(b+1-a)} + \frac{(c+1-b)^{2}}{(b+c+1)(c+1-b)} + \frac{(a+1-c)^{2}}{(a+c+1)(a+1-c)}$

Sử dụng Bđt Bunhiacopski dang cộng mẫu engel ta có:

$\frac{(b+1-a)^{2}}{(a+b+1)(b+1-a)} + \frac{(c+1-b)^{2}}{(b+c+1)(c+1-b)} + \frac{(a+1-c)^{2}}{(a+c+1)(a+1-c)} \geqslant \frac{(a+b+c)^{2}}{(a+b+1)(b+1-a)+(b+c+1)(c+1-b)+(a+c+1)(a+1-c)} $= $\frac{(a+b+c}^{2}}{2a+2b+2c+3}$=1

Suy ra $\frac{b+1-a}{a+b+1} + \frac{c+1-b}{b+c+1} + \frac{a+1-c}{a+c+1} \geqslant 1$

suy ra đpcm

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1

 

 

Bài này chuẩn rồi.

 

 

Bài 2: 

Có: $a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc=4\Rightarrow 4\geqslant 4\sqrt[4]{abc^{3}}\Rightarrow abc\leqslant 1$

$abc\leqslant 1\Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}\geqslant 3$

tiếp tục : $a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc=4\Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}+\frac{1}{3}(ab+bc+ca)+abc= 4+\frac{1}{3}(ab+bc+ca)$

Mà: $\frac{1}{3}(ab+bc+ca)\geqslant\sqrt[3]{abc^{2}}\geqslant abc ( do abc\leqslant 1)$

$\Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}+\frac{1}{3}(ab+bc+ca)\leqslant 4$

$\Rightarrow \frac{1}{6}(2ab+2bc+2ca+a^{2}+b^{2}+c^{2})+\frac{5}{6}(a^{2}+b^{2}+c^{2})\leqslant 4$

$\Rightarrow \frac{1}{6}(a+b+c)^{2}+\frac{5}{6}(a^{2}+b^{2}+c^{2})\leqslant 4$

mà $\frac{5}{6}(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geqslant \frac{5}{2}$

$\Rightarrow \frac{1}{6}(a+b+c)^{2}\leqslant \frac{3}{2}$

$\Rightarrow a+b+c\leqslant 3$

 

Dấu ''='' xảy ra khi a=b=c=1

 

Thôi thì post nốt cái lời giải đẹp cho cái bài này:

Ta đi chứng minh bổ đề sau:Với mọi số thực a,b,c dương ta có: 

$a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc+1 \geq 2(ab+bc+ca)$

Chứng minh:

Theo nguyên lý dirichlet thì trong 3 số a,b,c có 2 số cùng $\geq 1$ hoặc $\leq 1$ .Giả sử 2 số đó là a,b.

Ta có $(a-1)(b-1) \geq 0$

Biến đổi ta có $a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc+1 \geq 2(ab+bc+ca)$

      $ \leftrightarrow (a-b)^{2}+(c-1)^{2}+2c(a-1)(b-1) \geq 0$ (Đúng vì $(a-1)(b-1) \geq 0$)

Bổ đề được chứng minh

Trở lại bài toán:

$a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc+1 \geq 2(ab+bc+ca)$

$\leftrightarrow 2(a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc)+1 \geq (a+b+c)^{2}$

$\leftrightarrow 9 \geq (a+b+c)^{2}$

$\leftrightarrow a+b+c \leq 3 $

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$

[royal1534]

Thử đổi ngược đề câu 2 xem nào , Cho$a,b,c$ thực ko âm thỏa mãn : $a+b+c=3$. Chứng minh :$a^2+b^2+c^2+abc\geq 4$     
Câu này mình nghĩ sẽ dễ hơn câu gốc 

Ta có bổ đề quen thuộc: $a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc+1 \geq 2(ab+bc+ca) $

                                   $\leftrightarrow 2(a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc)+1 \geq (a+b+c)^{2}$

                                   $\leftrightarrow 2(a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc) \geq 8$

                                    $\leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc \geq 4 $

Dấu '=' xảy ra khi $a=b=c=1$