Ặc.Sai rồi
$\sum \frac{b+1}{a+b+1} \geq 2$
#21
Đã gửi 29-10-2015 - 18:43
What is .......>_<.....
#22
Đã gửi 29-10-2015 - 20:33
Bài 1:
Ta chứng minh được $\frac{a}{b+1}+\frac{b}{c+1}+\frac{c}{a+1}\geq \frac{3}{2}$
Do đó $\sum \frac{b+1}{a+b+1}=\sum \frac{1}{\frac{a+b+1}{b+1}}\geq \frac{9}{\sum \frac{a}{b+1}+1}\geq 2$
Ngược dấu rồi nha bác
#23
Đã gửi 29-10-2015 - 21:55
Bài 2:
Có: $a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc=4\Rightarrow 4\geqslant 4\sqrt[4]{abc^{3}}\Rightarrow abc\leqslant 1$
$abc\leqslant 1\Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}\geqslant 3$
tiếp tục : $a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc=4\Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}+\frac{1}{3}(ab+bc+ca)+abc= 4+\frac{1}{3}(ab+bc+ca)$
Mà: $\frac{1}{3}(ab+bc+ca)\geqslant\sqrt[3]{abc^{2}}\geqslant abc ( do abc\leqslant 1)$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 81NMT23: 29-10-2015 - 22:18
#24
Đã gửi 29-10-2015 - 22:04
Bài 2:
Có: a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc=4\Rightarrow 4\geqslant 4\sqrt[4]{abc^{3}}\Rightarrow abc\leqslant 1
abc\leqslant 1\Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}\geqslant 3
tiếp tục : a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc=4\Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}+\frac{1}{3}(ab+bc+ca)+abc= 4+\frac{1}{3}(ab+bc+ca)
Mà: \frac{1}{3}(ab+bc+ca)\geqslant\sqrt[3]{abc^{2}}\geqslant abc ( do abc\leqslant 1)
\Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}+\frac{1}{3}(ab+bc+ca)\leqslant 4\Rightarrow \frac{1}{6}(2ab+2bc+2ca+a^{2}+b^{2}+c^{2})+\frac{5}{6}(a^{2}+b^{2}+c^{2})\leqslant 4\Rightarrow \frac{1}{6}(a+b+c)^{2}+\frac{5}{6}(a^{2}+b^{2}+c^{2})\leqslant 4mà \frac{5}{6}(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geqslant \frac{5}{2}\Rightarrow \frac{1}{6}(a+b+c)^{2}\leqslant \frac{3}{2}\Rightarrow a+b+c\leqslant 3Dấu ''='' xảy ra khi a=b=c=1
ko dịch được
Tyrannosaurus Rex ~~
#25
Đã gửi 29-10-2015 - 22:08
Bạn đợi 1 lúc đi.
nếu ko được thì copy vao latex xem
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 81NMT23: 29-10-2015 - 22:11
#26
Đã gửi 29-10-2015 - 22:37
bài 1:
Biến đổi tương đương:
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 81NMT23: 29-10-2015 - 22:52
- khunglongbaochua và royal1534 thích
#27
Đã gửi 30-10-2015 - 11:56
bài 1:
Biến đổi tương đương:
$\frac{b+1}{a+b+1}+ \frac{c+1}{b+c+1} + \frac{a+1}{a+c+1} \geqslant2$$\Leftrightarrow \frac{2(b+1)}{a+b+1} + \frac{2(c+1)}{b+c+1} + \frac{2(a+1)}{a+c+1} \geqslant 4$$\Leftrightarrow \frac{b+1-a}{a+b+1} + \frac{c+1-b}{b+c+1} + \frac{a+1-c}{a+c+1} \geqslant 1$Có:$\frac{b+1-a}{a+b+1} + \frac{c+1-b}{b+c+1} + \frac{a+1-c}{a+c+1}= \frac{(b+1-a)^{2}}{(a+b+1)(b+1-a)} + \frac{(c+1-b)^{2}}{(b+c+1)(c+1-b)} + \frac{(a+1-c)^{2}}{(a+c+1)(a+1-c)}$Sử dụng Bđt Bunhiacopski dang cộng mẫu engel ta có:$\frac{(b+1-a)^{2}}{(a+b+1)(b+1-a)} + \frac{(c+1-b)^{2}}{(b+c+1)(c+1-b)} + \frac{(a+1-c)^{2}}{(a+c+1)(a+1-c)} \geqslant \frac{(a+b+c)^{2}}{(a+b+1)(b+1-a)+(b+c+1)(c+1-b)+(a+c+1)(a+1-c)} $= $\frac{(a+b+c}^{2}}{2a+2b+2c+3}$=1Suy ra $\frac{b+1-a}{a+b+1} + \frac{c+1-b}{b+c+1} + \frac{a+1-c}{a+c+1} \geqslant 1$suy ra đpcmDấu bằng xảy ra khi a=b=c=1
Bài này chuẩn rồi.
Bài 2:
Có: $a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc=4\Rightarrow 4\geqslant 4\sqrt[4]{abc^{3}}\Rightarrow abc\leqslant 1$
$abc\leqslant 1\Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}\geqslant 3$
tiếp tục : $a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc=4\Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}+\frac{1}{3}(ab+bc+ca)+abc= 4+\frac{1}{3}(ab+bc+ca)$
Mà: $\frac{1}{3}(ab+bc+ca)\geqslant\sqrt[3]{abc^{2}}\geqslant abc ( do abc\leqslant 1)$
$\Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}+\frac{1}{3}(ab+bc+ca)\leqslant 4$$\Rightarrow \frac{1}{6}(2ab+2bc+2ca+a^{2}+b^{2}+c^{2})+\frac{5}{6}(a^{2}+b^{2}+c^{2})\leqslant 4$$\Rightarrow \frac{1}{6}(a+b+c)^{2}+\frac{5}{6}(a^{2}+b^{2}+c^{2})\leqslant 4$mà $\frac{5}{6}(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geqslant \frac{5}{2}$$\Rightarrow \frac{1}{6}(a+b+c)^{2}\leqslant \frac{3}{2}$$\Rightarrow a+b+c\leqslant 3$Dấu ''='' xảy ra khi a=b=c=1
Thôi thì post nốt cái lời giải đẹp cho cái bài này:
Ta đi chứng minh bổ đề sau:Với mọi số thực a,b,c dương ta có:
$a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc+1 \geq 2(ab+bc+ca)$
Chứng minh:
Theo nguyên lý dirichlet thì trong 3 số a,b,c có 2 số cùng $\geq 1$ hoặc $\leq 1$ .Giả sử 2 số đó là a,b.
Ta có $(a-1)(b-1) \geq 0$
Biến đổi ta có $a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc+1 \geq 2(ab+bc+ca)$
$ \leftrightarrow (a-b)^{2}+(c-1)^{2}+2c(a-1)(b-1) \geq 0$ (Đúng vì $(a-1)(b-1) \geq 0$)
Bổ đề được chứng minh
Trở lại bài toán:
$a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc+1 \geq 2(ab+bc+ca)$
$\leftrightarrow 2(a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc)+1 \geq (a+b+c)^{2}$
$\leftrightarrow 9 \geq (a+b+c)^{2}$
$\leftrightarrow a+b+c \leq 3 $
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$
- khunglongbaochua yêu thích
#28
Đã gửi 30-10-2015 - 12:00
Thử đổi ngược đề câu 2 xem nào , Cho$a,b,c$ thực ko âm thỏa mãn : $a+b+c=3$. Chứng minh :$a^2+b^2+c^2+abc\geq 4$
Câu này mình nghĩ sẽ dễ hơn câu gốc
Ta có bổ đề quen thuộc: $a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc+1 \geq 2(ab+bc+ca) $
$\leftrightarrow 2(a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc)+1 \geq (a+b+c)^{2}$
$\leftrightarrow 2(a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc) \geq 8$
$\leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc \geq 4 $
Dấu '=' xảy ra khi $a=b=c=1$
- Phanbalong yêu thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh