Chủ đề này có 3 trả lời

[nguyennamphu1810]

Cho A=$\frac{x^3}{1+y}+\frac{y^3}{1+x}$ trong đó x,y là các số dương thỏa xy=1.CMR: A$\geq$1

[huy2403exo]

$A=\frac{x^4+x^3+y^4+y^3}{1+x+y+1}\geq 1\Leftrightarrow x^4+y^4+x^3+y^3\geq 2+x+y$ (1)

Dễ thấy $x^3+y^3-(x+y)=(x+y)(x^2+y^2-xy-1)=(x+y)(x^2+y^2-2)\geq 0$

 $x^4+y^4\geq 2$ nên (1) luôn đúng

Dấu = khi $x=y=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huy2403exo: 01-11-2015 - 15:34

[TruongQuangTan]

Cho A=$\frac{x^3}{1+y}+\frac{y^3}{1+x}$ trong đó x,y là các số dương thỏa xy=1.CMR: A$\geq$1

Quy đồng lên, ta có: A=$\frac{x^{4}+x^{3}+y^{4}+y^{3}}{x+y+xy+1}=\frac{(x^{4}+y^{4})+(x^{3}+y^{3})}{x+y+2}$

Áp dụng BĐT cô si, ta có: $x^{4}+y^{4}\geq 2x^{2}y^{2}$ và $x^{3}+y^{3}\geq xy(x+y)$

Khi đó: A$\geq \frac{2x^{2}y^{2}+xy(x+y)}{x+y+2}=\frac{2+x+y}{2+x+y}=1$

Vậy A$\geq$1 (đpcm)

Đẳng thức xảy ra khi x=y

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TruongQuangTan: 01-11-2015 - 15:34

[bvptdhv]

Cho A=$\frac{x^3}{1+y}+\frac{y^3}{1+x}$ trong đó x,y là các số dương thỏa xy=1.CMR: A$\geq$1

$BĐT <=>x^{4}+y^{4}+x^{3}+y^{3} \geq 2+x+y$

Ta có $x^{3}+y^{3} \geq xy(x+y)=x+y$ và $x^{4}+y^{4} \geq 2$

$=>đpcm$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bvptdhv: 02-11-2015 - 20:13