Chủ đề này có 4 trả lời

[bachmahoangtu2003]

Bài 1: Cho a>0, b>0 , $a+b\leq 1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

$\frac{a^2b^2}{a^4b^2+a^2b^4+a^2+b^2}$

Bài 2: Cho a,b là 2 số dương thòa mãn $a^2+b^2=6$

Chứng minh: $\sqrt{3(a^2+6)}\geq (a+b)\sqrt{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bachmahoangtu2003: 06-11-2015 - 20:43

[Kim Vu]

Đặt $A=\frac{a^2b^2}{a^4b^2+a^2b^4+a^2+b^2}$

$\Leftrightarrow A=\frac{a^2b^2}{(a^2b^2+1)(a^2+b^2)}$

Vì $(a-b)^2 \geq 0 \forall a,b \Leftrightarrow a^2+b^2 \geq 2ab \forall a,b$.

Do đó $A \leq \frac{a^2b^2}{(a^2b^2+1)2ab}=\frac{ab}{2(a^2b^2+1)}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{A}=\frac{2(a^2b^2+1)}{ab}$

$=2(ab+\frac{1}{ab})$

$=2(ab+\frac{1}{16ab})+\frac{15}{8ab}$

$ab+\frac{1}{16ab} \geq 2\sqrt{ab.\frac{1}{16ab}}=\frac{1}{2}$(BĐT Cô-si)

$ 1 \geq a+b \geq 2\sqrt{ab} \Leftrightarrow \frac{15}{8ab} \geq \frac{15}{2}$

Do đó $\frac{1}{A} \geq 2.\frac{1}{2}+\frac{15}{2}=\frac{17}{2}$

$\Leftrightarrow A \leq \frac{2}{17}$.Dấu bằng xảy ra khi $a=b=\frac{1}{2}$

$Max A=\frac{2}{17}$ tại $x=y=\frac{1}{2}$

[hoctrocuaHolmes]

Bài 1: Cho a>0, b>0 , $a+b\leq 1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

$\frac{a^2b^2}{a^4b^2+a^2b^4+a^2+b^2}$

Bài 2: Cho a,b là 2 số dương thòa mãn $a^2+b^2=6$

Chứng minh: $\sqrt{3(a^2+6)}\geq \sqrt{2}$

1. Áp dụng AM-GM:

$\Leftrightarrow \frac{1}{a^{2}+b^{2}+\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}}=\frac{1}{(a^{2}+\frac{1}{16a^{2}})+(b^{2}+\frac{1}{16b^{2}})+\frac{15}{16}(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}})}\leq \frac{1}{2.\frac{1}{4}+2.\frac{1}{4}+\frac{15}{16}.\frac{8}{(a+b)^{2}}}\leq \frac{1}{1+\frac{15}{2}}=\frac{2}{17}$ (chú ý gt $a+b \leq 1$)

Dấu ''='' xảy ra khi  $a=b=\frac{1}{2}$

2. $b$ ở đâu vậy bạn   

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HappyLife: 06-11-2015 - 20:39

[Issac Newton of Ngoc Tao]

Bài 2: Cho a,b là 2 số dương thòa mãn $a^2+b^2=6$

Chứng minh: $\sqrt{3(a^2+6)}\geq (a+b)\sqrt{2}$

Ta có:

$BPT\Leftrightarrow 3(2a^{2}+b^{2})\geq 2a^{2}+2b^{2}+4ab(do a^{2}+b^{2}=6)\Leftrightarrow (2a-b)^{2}\geq 0$(luôn đúng)

[Trung Kenneth]

$Có : \left ( a+b \right )^2 = \left ( \sqrt{2}.a.\frac{1}{\sqrt{2}}+b.1 \right )^2\leq (2a^2+b^2).(\frac{1}{2}+1)(Theo Bunhiacopki) <=> (a+b)^2\leq (a^2+6).\frac{3}{2} <=> 3.(a^2+6)\geq 2(a+b)^2 <=> \sqrt{3.(a^2+6)}\geq (a+b).\sqrt{2} => đpcm$