Chủ đề này có 2 trả lời

[Hieutran2000]

Cho a,b,c $\geq$ 0 , ab+bc+ca=1. Chứng minh rằng:
\[{\left( {\frac{{{a^2}}}{{a + c}} + \frac{{{b^2}}}{{a + b}} + \frac{{{c^2}}}{{c + b}}} \right)^2} + \frac{{4abc({a^2} + {b^2} + {c^2} + 2)}}{{(a + b)(b + c)(c + a)}} \ge \frac{9}{4}\]

    Từ đó: Với gt như cũ

 Tìm điều kiện của k để BĐT sau đúng:

 \[{\left( {\frac{{{a^2}}}{{a + c}} + \frac{{{b^2}}}{{a + b}} + \frac{{{c^2}}}{{c + b}}} \right)^2} + \frac{{kabc({a^2} + {b^2} + {c^2} + 2)}}{{(a + b)(b + c)(c + a)}} \ge \frac{3k+6}{8}\]

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hieutran2000: 07-11-2015 - 22:00

[longatk08]

 

Cho a+b+c $\geq$ 0 , ab+bc+ca=1. Chứng minh rằng:

   \[{\left( {\frac{{{a^2}}}{{a + c}} + \frac{{{b^2}}}{{a + b}} + \frac{{{c^2}}}{{c + b}}} \right)^2} + \frac{{4abc({a^2} + {b^2} + {c^2} + 2)}}{{(a + b)(b + c)(c + a)}} \ge \frac{9}{4}\]

 

Lấy $a+b+c=1$ và đặt $ab+bc+ac=q,r=abc$ thì ta cần chứng minh:

 

$$\frac{(q-q^2-2r)^2}{(q-r)^2}+\frac{4r}{q-r}\geq \frac{9q}{4}$$

 

Khai triển thì $f(r)$ là hàm lồi theo $r$ nên có cực đại.

 

BĐT tương đương: $9qr^2-34q^2r+17q^3-4q^4-4q^2 \leq 0$

 

Nếu $q \leq \frac{1}{4}$ thì $r \geq 0$. Nếu $\frac{1}{3} \geq q \geq \frac{1}{4}$ thì $r \geq \frac{4q-1}{9}$ và $f(\frac{4q-1}{9})=\frac{q(1-3q)^2(1-4q)}{9}\leq 0$

 

Xét $r \leq \frac{q^2}{3}$ thì $f(\frac{q^2}{3})=\frac{q^2(3q-1)(q^2-15q+12)}{3}\leq 0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi longatk08: 06-11-2015 - 23:38

[Hieutran2000]

dấu bằng xảy ra?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hieutran2000: 07-11-2015 - 22:04