Chủ đề này có 4 trả lời

[halloffame]

Giả sử $x,y,z$ là các số thực không âm thỏa mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1.$
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức:
$P=\frac{x}{1+yz} + \frac{y}{1+zx} + \frac{z}{1+xy}$

[phamngochung9a]

Giả sử $x,y,z$ là các số thực không âm thỏa mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1.$
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức:
$P=\frac{x}{1+yz} + \frac{y}{1+zx} + \frac{z}{1+xy}$

Đã có ở đây

[halloffame]

Còn phần GTLN nữa mà bạn.

[phamngochung9a]

Còn phần GTLN nữa mà bạn.

Xin lỗi bạn, mình không đọc kĩ đề 

Tìm GTLN như sau:

$P=x+y+z-xyz\left ( \sum \frac{1}{1+xy} \right )\leq x+y+z-\frac{9xyz}{3+xy+yz+zx}\leq x+y+z-\frac{9xyz}{4}$

Ta sẽ chứng minh $P\leq \sqrt{2}$

Bài toán đưa về dạng CM $A=x+y+z-\frac{9xyz}{4}\leq \sqrt{2}$ với $x^2+y^2+z^2=1$

Loại này ''sài '' $p,q,r$ là ngon lành nhất

$A=p-\frac{9}{4}r$ 

Áp dụng BĐT $Schur$ bậc $3$, ta có:

$r\geq \frac{p(4q-p^{2})}{9}\\\Rightarrow A\leq p-\frac{p(4q-p^{2})}{4}$

Mà $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1\Rightarrow p^{2}-2q=1\\\Rightarrow A\leq p-\frac{p(4q-p^{2})}{4}= p-\frac{p(p^{2}-2)}{4}$

$p-\frac{p(p^{2}-2)}{4}\leq \sqrt{2}\Leftrightarrow p^{3}-6p+4\sqrt{2}\geq 0\Leftrightarrow (p-\sqrt{2})^{2}(p+\sqrt{8})\geq 0$ , luôn đúng 

$\Rightarrow Q.E.D$

[phamngochung9a]

Nếu bạn chưa đọc $p,q,r$ thì có thể tham khảo ở đây 

   pqr_schur_vothanhvan.pdf.pdf   527.62K   38 Số lần tải