$P=\frac{x}{1+yz} + \frac{y}{1+zx} + \frac{z}{1+xy}$
#1
Đã gửi 09-11-2015 - 20:54
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức:
$P=\frac{x}{1+yz} + \frac{y}{1+zx} + \frac{z}{1+xy}$
Sự học như con thuyền ngược dòng nước, không tiến ắt phải lùi.
#2
Đã gửi 09-11-2015 - 21:28
Giả sử $x,y,z$ là các số thực không âm thỏa mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1.$
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức:
$P=\frac{x}{1+yz} + \frac{y}{1+zx} + \frac{z}{1+xy}$
Đã có ở đây
- halloffame yêu thích
#3
Đã gửi 09-11-2015 - 21:49
Sự học như con thuyền ngược dòng nước, không tiến ắt phải lùi.
#4
Đã gửi 09-11-2015 - 22:36
Còn phần GTLN nữa mà bạn.
Xin lỗi bạn, mình không đọc kĩ đề
Tìm GTLN như sau:
$P=x+y+z-xyz\left ( \sum \frac{1}{1+xy} \right )\leq x+y+z-\frac{9xyz}{3+xy+yz+zx}\leq x+y+z-\frac{9xyz}{4}$
Ta sẽ chứng minh $P\leq \sqrt{2}$
Bài toán đưa về dạng CM $A=x+y+z-\frac{9xyz}{4}\leq \sqrt{2}$ với $x^2+y^2+z^2=1$
Loại này ''sài '' $p,q,r$ là ngon lành nhất
$A=p-\frac{9}{4}r$
Áp dụng BĐT $Schur$ bậc $3$, ta có:
$r\geq \frac{p(4q-p^{2})}{9}\\\Rightarrow A\leq p-\frac{p(4q-p^{2})}{4}$
Mà $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1\Rightarrow p^{2}-2q=1\\\Rightarrow A\leq p-\frac{p(4q-p^{2})}{4}= p-\frac{p(p^{2}-2)}{4}$
$p-\frac{p(p^{2}-2)}{4}\leq \sqrt{2}\Leftrightarrow p^{3}-6p+4\sqrt{2}\geq 0\Leftrightarrow (p-\sqrt{2})^{2}(p+\sqrt{8})\geq 0$ , luôn đúng
$\Rightarrow Q.E.D$
- canhhoang30011999 và halloffame thích
#5
Đã gửi 09-11-2015 - 22:42
Nếu bạn chưa đọc $p,q,r$ thì có thể tham khảo ở đây
pqr_schur_vothanhvan.pdf.pdf 527.62K 38 Số lần tải
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh