Chủ đề này có 6 trả lời

[chardhdmovies]

Cho $a,b,c>0$. C/m:
$\sum \frac{2a}{2a+b+c}\geq 1+\frac{9abc}{2(a+b+c)(ab+bc+ca)}$
P/s: Hy vọng lần này đề không sai

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chardhdmovies: 10-11-2015 - 22:05

[hoanglong2k]

Cho $a,b,c>0$. C/m:
$2(a+b+c)(ab+bc+ca)^{2}\geq 9abc(a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+ca+bc)$

BĐT trên sau khi khai triển: $2\sum a^{2}b^{2}(a+b)+abc(a+b+c)\geq5abc(a^{2}+b^{2}+c^{2})$

 $(a,b,c)=(1,1,5)$ ?

[longatk08]

Cho $a,b,c>0$. C/m:
$2(a+b+c)(ab+bc+ca)^{2}\geq 9abc(a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+ca+bc)$

BĐT trên sau khi khai triển: $2\sum a^{2}b^{2}(a+b)+abc(a+b+c)\geq5abc(a^{2}+b^{2}+c^{2})$

Lấy $b=c=1, a=5$ sai

[longatk08]

 $(a,b,c)=(1,1,5)$ ?

Ý tưởng lớn gặp nhau chăng

[hoanglong2k]

Cho $a,b,c>0$. C/m:
$\sum \frac{2a}{2a+b+c}\geq 1+\frac{9abc}{2(a+b+c)(ab+bc+ca)}$
P/s: Hy vọng lần này đề không sai

 Ta có bất đẳng thức tương đương 

$$6(a+b+c)^2(ab+bc+ca)^2+abc(a+b+c)(ab+bc+ca)\geq 18abc(a+b+c)^3+9(abc)^2$$

 Luôn đúng vì

$$6(a+b+c)^2(ab+bc+ca)^2\geq 6(a+b+c)^2.3abc(a+b+c)=18abc(a+b+c)^3$$

 Và

$$abc(a+b+c)(ab+bc+ca)\geq 9(abc)^2$$

 

 

NTP

 Ta có :

$$\sum a(2b+c+a)(2c+a+b)=\sum a^3+5\sum ab(a+b)+15abc$$

$$\prod (2a+b+c)=2\sum a^3+7\sum ab(a+b)+16abc$$

 Nên ta chỉ cần chứng minh :

$$\dfrac{2\sum a^3+10\sum ab(a+b)+30abc}{2\sum a^3+7\sum ab(a+b)+16abc}\geq 1+\dfrac{9abc}{2(a+b+c)(ab+bc+ca)}$$

$$\Leftrightarrow \dfrac{3\sum ab(a+b)+14abc}{2\sum a^3+7\sum ab(a+b)+16abc}\geq \dfrac{9abc}{2(a+b+c)(ab+bc+ca)}$$

$$\Leftrightarrow \dfrac{3(a+b+c)(ab+bc+ca)+5abc}{2(a+b+c)^3+(a+b+c)(ab+bc+ca)+abc}\geq \dfrac{9abc}{2(a+b+c)(ab+bc+ca)}$$

$$\Leftrightarrow \dfrac{3pq+5r}{2p^3+pq+r}\geq \dfrac{9r}{2pq}\Leftrightarrow 6p^2q^2+pqr\geq 18p^3r+9r^2$$

 

 

 

longatk08

 

 

Ý tưởng lớn gặp nhau chăng 

 

  Ahihihi :")

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoanglong2k: 11-11-2015 - 10:48

[Bichess]

Cho $a,b,c>0$. C/m:
$\sum \frac{2a}{2a+b+c}\geq 1+\frac{9abc}{2(a+b+c)(ab+bc+ca)}$
P/s: Hy vọng lần này đề không sai

uk lần này đúng

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Bichess: 11-11-2015 - 10:58

[chardhdmovies]

Thực ra mình làm một bài đến đoạn bđt vừa rồi, áp dụng c-s cộng mẫu ra được cái bđt bị sai. Mình thử vài số thấy đúng nên nghĩ nó đúng