Cho a, b, c>0 và a+b+c=3. Chứng minh $\frac{a^2}{a+2b^3}+\frac{b^2}{b+2c^3}+\frac{c^2}{c+2a^3}\geq 1$
Chứng minh $\frac{a^2}{a+2b^3}+\frac{b^2}{b+2c^3}+\frac{c^2}{c+2a^3}\geq 1$
Bắt đầu bởi khanhlinh8b, 16-11-2015 - 16:46
#1
Đã gửi 16-11-2015 - 16:46
#2
Đã gửi 16-11-2015 - 17:42
$Cauchy $ ngược dấu nhe bạn.Ta có :
$\frac{a^2}{a+2b^3}=a-\frac{2ab^3}{a+2b^3}\geq a-\frac{2ab^3}{3b^2\sqrt[3]{a}}\geq a-\frac{2}{3}\sqrt[3]{a^2}.b$
Tương tự mấy cái còn lại,
$\Rightarrow$ Vế trái $\geq (a+b+c)-\frac{2}{3} (\sqrt[3]{a^2}b+\sqrt[3]{b^2}c+\sqrt[3]{c^2}a)\\\geq 3-\frac{2}{3}(\frac{a+a+1}{3}.b+\frac{b+b+1}{3}.c+\frac{c+c+1}{3}.a)\\\geq 3-\frac{2}{3}(\frac{2ab+2bc+2ca}{3}+\frac{a+b+c}{3})\\\geq 3-\frac{2}{3}[\frac{2}{3}\frac{(a+b+c)^2}{3}+1]\geq1$
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$
- zPtsKing và khanhlinh8b thích
----HIKKIGAYA HACHIMAN----
"MỘT THẾ GIỚI MÀ CHẲNG AI TỔN THƯƠNG ...KHÔNG HỀ TỒN TẠI"
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh