Cho $n,k\in \mathbb{N}^{*}$, n lẻ . Chứng minh rằng tổng các lũy thừa bậc $n^{k}$ của n số nguyên dương liên tiếp chia hết cho $n^{k+1}$.
Tổng các lũy thừa bậc $n^{k}$ của n số nguyên dương liên tiếp chia hết cho $n^{k+1}$
#1
Đã gửi 20-11-2015 - 13:46
#2
Đã gửi 22-11-2015 - 12:11
Mình nghĩ bài toán này không đúng. Lấy ví dụ $n=3,k=2$ thì $1^2+2^2+3^2$ không chia hết cho $3^3$.
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
#4
Đã gửi 25-11-2015 - 02:08
Suy luận.
Ta cần chứng minh $n^{k+1}|(a+1)^{n^k}+......+(a+n)^{n^k}$ với $a\in\mathbb{N}$
Gọi $p$ là ước nguyên tố bất kỳ của $n$. Đặt $n=p^tm$ ( $\gcd(p,m)=1$). Cần có $p^{t(k+1)}|(a+1)^{n^k}+....+(a+n)^{n^k}$
Chia $n=p^t.m$ số nguyên liên tiếp trên thành $m$ cụm, mỗi cụm có $p^t$ số
Cụm $1$: $(a+1)^{n^k},....,(a+p^t)^{n^k}$
Cụm $2$: $(a+p^t+1)^{n^k},...,(a+2p^t)^{n^k}$
.....
Cụm $m$: $(a+(m-1)p^t+1)^{n^k},....,(a+mp^t)^{n^k}$
Mỗi cụm là một dãy gồm $p^t$ số nguyên liên tiếp nên tồn tại một số $(a+i)^{n^k}$ chia hết cho $p^{tn^k}$ hay chia hết cho $p^{t(k+1)}$
$p^t-1$ số còn lại sẽ là một hệ thặng dư modulo $p^t$ có chẵn các số dư là $1,2,..., p^t-1$. Đến đây ta chỉ cần ghép cặp hai số bất kỳ sao cho tổng bên trong của chúng chia hết cho $p^t$. Giả sử $(a+s)^{n^k}$ và $(a+r)^{n^k}$ cùng thuộc một cụm có $p^t|2a+s+r$ thì $v_p[(a+s)^{n^k}+(a+r)^{n^k}]=v_p(2a+s+r)+tk\geq t(k+1)$
Khi đó tổng của chúng chia hết cho $p^{t(k+1)}$ hay chia hết cho $n^{k+1}$. Ta có đpcm
- nguyenhongsonk612 và nhungvienkimcuong thích
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh