Chủ đề này có 3 trả lời

[Minhnguyenthe333]

Cho $x,y,z\geq0$ thỏa $x+y+z=\frac{7\sqrt{15}}{10}$.Tìm $GTNN$ của biểu thức:      

 

                    $T=\frac{\sqrt{0,16+x^2}}{3}+\frac{\sqrt{0,09+y^2}}{4}+\frac{z}{5}$

[hoanglong2k]

Cho $x,y,z\geq0$ thỏa $x+y+z=\frac{7\sqrt{15}}{10}$.Tìm $GTNN$ của biểu thức:      

 

                    $T=\frac{\sqrt{0,16+x^2}}{3}+\frac{\sqrt{0,09+y^2}}{4}+\frac{z}{5}$

 Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có :

$$\sqrt{\left ( \dfrac{4}{25}+x^2 \right )\left ( 1+\dfrac{9}{16} \right )}\geq \dfrac{2}{5}+\dfrac{3x}{4}\Rightarrow \dfrac{\sqrt{0,16+x^2}}{3}\geq \dfrac{8}{75}+\dfrac{x}{5}$$

$$\sqrt{\left ( \dfrac{9}{100}+y^2 \right )\left ( 1+\dfrac{16}{9} \right )}\geq \dfrac{3}{10}+\dfrac{4y}{3}\Rightarrow \dfrac{\sqrt{0,09+y^2}}{4}\geq \dfrac{9}{200}+\dfrac{y}{5}$$

 Cộng 2 BĐT trên lại ta được :

$$\dfrac{\sqrt{0,16+x^2}}{3}+\dfrac{\sqrt{0,09+y^2}}{4}+\frac{z}{5}\geq \dfrac{91}{600}+\dfrac{x+y+z}{5}=\dfrac{91}{600}+\dfrac{7\sqrt{15}}{50}$$

[CaptainCuong]

 Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có :

$$\sqrt{\left ( \dfrac{4}{25}+x^2 \right )\left ( 1+\dfrac{9}{16} \right )}\geq \dfrac{2}{5}+\dfrac{3x}{4}\Rightarrow \dfrac{\sqrt{0,16+x^2}}{3}\geq \dfrac{8}{75}+\dfrac{x}{5}$$

$$\sqrt{\left ( \dfrac{9}{100}+y^2 \right )\left ( 1+\dfrac{16}{9} \right )}\geq \dfrac{3}{10}+\dfrac{4y}{3}\Rightarrow \dfrac{\sqrt{0,09+y^2}}{4}\geq \dfrac{9}{200}+\dfrac{y}{5}$$

 Cộng 2 BĐT trên lại ta được :

$$\dfrac{\sqrt{0,16+x^2}}{3}+\dfrac{\sqrt{0,09+y^2}}{4}+\frac{z}{5}\geq \dfrac{91}{600}+\dfrac{x+y+z}{5}=\dfrac{91}{600}+\dfrac{7\sqrt{15}}{50}$$

Làm sao bạn biết để áp dụng Bunhiacopxki với lượng $1+\frac{9}{16}$ và $1+\frac{16}{9}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi CaptainCuong: 21-11-2015 - 21:51

[Hoang Long Le]

Làm sao bạn biết để áp dụng Bunhiacopxki với lượng $1+\frac{9}{16}$ và $1+\frac{16}{9}$

 Ta tách $\dfrac{\sqrt{0,16+x^2}}{3}=\dfrac{\sqrt{(1+m^2)(0,16+x^2)}}{3\sqrt{1+m^2}}\geq \dfrac{0,4+mx}{3\sqrt{1+m^2}}$

 Ta tìm $m$ sao cho $\dfrac{m}{3\sqrt{1+m^2}}=\dfrac{1}{5}$

 Tương tự cho $\dfrac{\sqrt{0,09+y^2}}{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Long Le: 23-11-2015 - 02:23