1) $a,b,c,x,y,z \in \mathbb{R} $ chứng minh $ 4(a^2+x^2)(b^2+y^2)(c^2+z^2) \geq 3(bcx+cay+abz)^2$
2)$a,b,c \in \mathbb{R} chứng\space minh\space 2(1+abc)+\sqrt{2(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2) } \geq (1+a)(1+b)(1+c)$
3)$ a,b,c,d,e >0 , \Sigma a^2=5,$ chứng minh $\sum {\frac{a}{b+c}} \geq 3$
4)$a,b,c>0 , abc=1$ chứng minh $\sum {\frac{a+b+1}{a+b^2+c^3}}\leq \frac{(a+1)(b+1)(c+1)+1}{a+b+c}$
5) $a,b,c>0 , a^2+b^2+c^2=3, chứng \space minh : \sum {\sqrt{\frac{a^2}{a^2+b+c}}}\leq \sqrt{3}$
(-sử dụng phương pháp Cauchy Schwarz để chứng minh bđt -)
6)$a,b,c >0 ,a+b+c=3, chứng \space minh : \sum{\frac{a}{\sqrt{4-b}}} \leq \sqrt{3}$
1,Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Swarchz ta có:
$3(a^{2}+x^{2})[(cy+bz)^{2}+b^{2}c^{2}] \geq 3(acy+abz+bcx)^{2}$
Vậy ta cần chứng minh $4(b^{2}+y^{2})(c^{2}+z^{2}) \geq 3[(cy+bz)^{2}+b^{2}c^{2}]$
$\leftrightarrow (cy-bz)^{2}+(bc-2yz)^{2} \geq 0$ :Đúng
BĐT được chứng minh.Đẳng thức xảy ra khi $\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
--------------------------------------------------------
2,Bằng cách khai triển trực tiếp,viết lại bđt cần chứng minh
$\leftrightarrow \sqrt{2(c^{2}+a^{2}+b^{2}+b^{2}c^{2}+a^{2}b^{2}+c^{2}a^{2}+a^{2}b^{2}c^{2}+1)} \geq a+b+c+ab+bc+ca-abc-1$
Đặt $p=a+b+c,q=ab+bc+ca,r=abc$
BĐT cần chứng minh $\leftrightarrow \sqrt{2(1+p^{2}-2q+q^{2}-2pr+r^{2})} \geq p+q-r-1$
$\leftrightarrow 2(1+p^{2}-2q+q^{2}-2pr+r^{2}) \geq (p+q-r-1)^{2}$
$\leftrightarrow (p-q-r+1)^{2} \geq 0$:Đúng
BĐT được chứng minh.
--------------------------------------------------------
5, Trước hết ta có nhận xét quen thuộc sau:
$a+b+c \leq \sqrt{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}=3=a^{2}+b^{2}+c^{2}$
Áp dụng bđt Cauchy-Swarchz ta có:
$\sum \sqrt{\frac{a^{2}}{a^{2}+b+c}} \leq \sqrt{(a+b+c)(\sum \frac{a}{a^{2}+b+c})} \leq \sqrt{3.\sum\frac{a}{a^{2}+b+c}}$
Cần chứng minh $\sum \frac{a}{a^{2}+b+c} \leq 1$
Áp dụng bđt Cauchy Swarchz ta có:
$\sum \frac{a}{a^{2}+b+c}=\sum \frac{a(1+b+c)}{(a^{2}+b+c)(1+b+c)} \leq \sum\frac{a+b+c+2(ab+bc+ca)}{(a+b+c)^{2}} \leq \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}+2(ab+bc+ca)}{(a+b+c)^{2}}=1$
--------------------------------------------------------
6,Áp dụng trực tiếp bđt Cauchy-Swarchz ta có:
$\sum \frac{a}{\sqrt{4-b}} \leq \sqrt{(a+b+c)(\sum \frac{a}{4-b})}=\sqrt{3(\sum \frac{a}{4-b})}$
Ta cần chứng minh $\sum \frac{a}{4-b} \leq 1 $
$\leftrightarrow \sum a(4-a)(4-c) \leq (4-a)(4-b)(4-c) $
$\leftrightarrow a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a+abc \leq 4 $
Không mất tính tổng quát .Giả sử c là số nằm giữa a và b
$\rightarrow a(a-c)(b-c) \leq 0 $
$\rightarrow a^{2}b+c^{2}a \leq a^{2}c+abc$
$\rightarrow a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a+abc \leq a^{2}c+b^{2}c+2abc=c(a+b)^{2}$
Ta cần chứng minh $c(a+b)^{2} \leq 4$
Áp dụng bđt AM-GM ta có: $c(a+b)^{2}=\frac{1}{2}.2c.(a+b)(a+b) \leq \frac{1}{2}.\frac{[2(a+b+c)]^{3}}{27}=\frac{1}{2}.\frac{6^{3}}{27}=4 $
BĐT được chứng minh.Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$
