Chủ đề này có 6 trả lời

[tpdtthltvp]

1/Cho a,b,c khác 0.

   $\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\geq \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}$

2/CMR: $\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\cdots +\frac{1}{n^2}< \frac{5}{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpdtthltvp: 23-11-2015 - 19:27

[royal1534]

1,Ta có $(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})(\frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{b^{2}}{c^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2}}) \geq 3(\frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{b^{2}}{c^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2}}) \geq (\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})^{2} $

$\rightarrow \frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{b^{2}}{c^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2}} \geq \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$

[Quoc Tuan Qbdh]

1,Ta có $(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})(\frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{b^{2}}{c^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2}}) \geq 3(\frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{b^{2}}{c^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2}}) \geq (\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})^{2} $

$\rightarrow \frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{b^{2}}{c^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2}} \geq \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$

Đề bài có cho là $a;b;c > 0$ để áp dụng $AM-GM$ đâu bạn ?

[tpdtthltvp]

1,Ta có $(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})(\frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{b^{2}}{c^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2}}) \geq 3(\frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{b^{2}}{c^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2}}) \geq (\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})^{2} $

$\rightarrow \frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{b^{2}}{c^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2}} \geq \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$

Đúng là đề không cho thật !

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpdtthltvp: 23-11-2015 - 20:31

[phamngochung9a]

1/Cho a,b,c khác 0.

   $\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\geq \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}$

2/CMR: $\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\cdots +\frac{1}{n^2}< \frac{5}{3}$

$VT\leq \left | \frac{a}{b} \right |+\left | \frac{b}{c} \right |+\left | \frac{c}{a} \right |$

Đặt $\left | \frac{a}{b} \right |=\frac{x}{y};\left | \frac{b}{c} \right |=\frac{y}{z};\left |\frac{c}{a} \right |=\frac{z}{x}$

Ta chuyển bài toán về cm $\frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{z^{2}}+\frac{z^{2}}{x^{2}}\geq \frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}$ với $x,y,z> 0$

Ta có: 

$\left ( 1+1+1 \right )\left ( \frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{z^{2}}+\frac{z^{2}}{x^{2}} \right )\geq \left ( \frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x} \right )^{2}=\left ( \frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x} \right ).\left ( \frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x} \right )\geq \sum \frac{x}{y}.3\sqrt[3]{\frac{x}{y}.\frac{y}{z}.\frac{z}{x}}=3\sum \frac{x}{y}\rightarrow Q.E.D$

 

Đề bài có cho là $a;b;c > 0$ để áp dụng $AM-GM$ đâu bạn ?

Hix.. Tuấn mà cũng ko làm đc bài ni á ??????   

[Quoc Tuan Qbdh]

$VT\leq \left | \frac{a}{b} \right |+\left | \frac{b}{c} \right |+\left | \frac{c}{a} \right |$   --> Bạn giải thích chỗ này được không ?? Theo mình thì VP chứ

Đặt $\left | \frac{a}{b} \right |=\frac{x}{y};\left | \frac{b}{c} \right |=\frac{y}{z};\left |\frac{c}{a} \right |=\frac{z}{x}$

Ta chuyển bài toán về cm $\frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{z^{2}}+\frac{z^{2}}{x^{2}}\geq \frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}$ với $x,y,z> 0$

Ta có: 

$\left ( 1+1+1 \right )\left ( \frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{z^{2}}+\frac{z^{2}}{x^{2}} \right )\geq \left ( \frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x} \right )^{2}=\left ( \frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x} \right ).\left ( \frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x} \right )\geq \sum \frac{x}{y}.3\sqrt[3]{\frac{x}{y}.\frac{y}{z}.\frac{z}{x}}=3\sum \frac{x}{y}\rightarrow Q.E.D$

 

Hix.. Tuấn mà cũng ko làm đc bài ni á ??????      Quoc Tuan Qbdh : mình chỉ nhắc bạn royal điều kiện của bài thôi và cũng không đề cập tới làm được hay không 

Cách khác :

Chia làm hai trường hợp 

TH1 : $\sum \frac{a}{b} \geq 3$ 

Cách giải tương tự bạn royal

$\sum \frac{a}{b} . \sum \frac{a^{2}}{b^{2}} \geq 3 . \sum \frac{a^{2}}{b^{2}} \geq (\sum \frac{a}{b})^{2}(C-S)$

$<=> \sum \frac{a^{2}}{b^{2}} \geq \sum \frac{a}{b}$  ( Chia cả hai vế cho một lượng dương )

TH 2 :$\sum \frac{a}{b} < 3$

Áp dụng BĐT $AM-GM$ thì $\sum \frac{a^{2}}{b^{2}} \geq 3 > \sum \frac{a}{b}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Quoc Tuan Qbdh: 23-11-2015 - 21:18

[Quoc Tuan Qbdh]

2/CMR: $\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\cdots +\frac{1}{n^2}< \frac{5}{3}$

Với mọi $k>1$ thì 

$\frac{1}{k^{2}} = \frac{4}{4k^{2}} < \frac{4}{4k^{2}-1} = \frac{4}{(2k-1)(2k+1)}=2(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1})$

Suy ra :

$\frac{1}{2^{2}}+....+\frac{1}{n^{2}} < 2(\frac{1}{3}-\frac{1}{2n-1})< \frac{2}{3}$

Cộng $\frac{1}{1^{2}}$ vào cả hai vế được điều cần chứng minh