Chủ đề này có 2 trả lời

[khanhlinh8b]

Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x+y+z=3

Chứng minh rằng: $\frac{2x^2+y^2+z^2}{4-yz}+\frac{2y^2+z^2+x^2}{4-xz}+\frac{2z^2+x^2+y^2}{4-xy}\geq 4xyz$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HappyLife: 30-11-2015 - 18:49

[royal1534]

 

Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x+y+z=3

Chứng minh rằng: $\frac{2x^2+y^2+z^2}{4-yz}+\frac{2y^2+z^2+x^2}{4-xz}+\frac{2z^2+x^2+y^2}{4-xy}\geq 4xyz$

 

Trước hết ta có những nhận xét quen thuộc sau:

1,$xy+yz+xz \leq \frac{(x+y+z)^{2}}{3}=3$

2,$x^{2}+y^{2}+z^{2} \geq \frac{(x+y+z)^{2}}{3}=3$

3,$x^{2}+y^{2}+z^{2} \geq xy+yz+xz$

Trở lại bài toán ta có: 

Vì $1=\frac{(x+y+z)^{3}}{27} \geq xyz $

Nên ta chỉ cần chứng minh 

$\frac{2x^2+y^2+z^2}{4-yz}+\frac{2y^2+z^2+x^2}{4-xz}+\frac{2z^2+x^2+y^2}{4-xy}\geq 4$

Mà ta có $VT=(x^{2}+y^{2}+z^{2}).\sum \frac{1}{4-yz}+\sum \frac{x^{2}}{4-yz}$

$\geq \frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{12-xy-yz-xz}+\frac{(x+y+z)^{2}}{12-xy-yz-xz}=\frac{9(x^{2}+y^{2}+z^{2}+1)}{12-xy-yz-xz}$ (BĐT Cauchy Swarchz)

Ta cần chứng minh $\frac{9(x^{2}+y^{2}+z^{2}+1)}{12-xy-yz-xz} \geq 4$ 

                 $\leftrightarrow 9(x^{2}+y^{2}+z^{2})+9 \geq 48-4(xy+yz+xz)$

                 $\leftrightarrow 9(x^{2}+y^{2}+z^{2})+4(xy+yz+xz) \geq 39$

Ta có $9(x^{2}+y^{2}+z^{2})+4(xy+yz+zx)=x^{2}+y^{2}+z^{2}+4(2x^{2}+2y^{2}+2z^{2}+xy+yz+zx) \geq 3+4(x^{2}+y^{2}+z^{2}+2(xy+yz+xz))=3+4(x+y+z)^{2}=39$

Bài toán được chứng minh,Dấu '=' xảy ra khi $x=y=z=1$

[KietLW9]

Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x+y+z=3

Chứng minh rằng: $\frac{2x^2+y^2+z^2}{4-yz}+\frac{2y^2+z^2+x^2}{4-xz}+\frac{2z^2+x^2+y^2}{4-xy}\geq 4xyz$

Ta có: $\frac{2x^2+y^2+z^2}{4-yz}+\frac{2y^2+z^2+x^2}{4-xz}+\frac{2z^2+x^2+y^2}{4-xy}\geqslant \frac{2xy+2xz}{4-yz}+\frac{2yz+2yx}{4-xz}+\frac{2zx+2zy}{4-xy}\geqslant \frac{4x\sqrt{yz}}{4-yz}+\frac{4y\sqrt{zx}}{4-xz}+\frac{4z\sqrt{xy}}{4-xy}$

Như vậy, ta cần chứng minh: 

$\frac{4x\sqrt{yz}}{4-yz}+\frac{4y\sqrt{zx}}{4-xz}+\frac{4z\sqrt{xy}}{4-xy}\geqslant 4xyz\Leftrightarrow \frac{\sqrt{yz}}{yz(4-yz)}+\frac{\sqrt{zx}}{zx(4-zx)}+\frac{\sqrt{xy}}{xy(4-xy)}\geqslant 1$

Đặt $\sqrt{xy}=a;\sqrt{yz}=b;\sqrt{zx}=c$ thì $a+b+c\leqslant 3$ và ta cần chứng minh: $\frac{1}{a(4-a^2)}+\frac{1}{b(4-b^2)}+\frac{1}{c(4-c^2)}\geqslant 1$

Ta có: $\frac{1}{a(4-a^2)}- \frac{-a+4}{9}=\frac{(a-1)^2(9-2a-a^2)}{9a(4-a^2)}\geqslant 0\Rightarrow \frac{1}{a(4-a^2)}\geqslant\frac{-a+4}{9}$

Tương tự rồi cộng lại, ta được: $\frac{1}{a(4-a^2)}+\frac{1}{b(4-b^2)}+\frac{1}{c(4-c^2)}\geqslant \frac{-(a+b+c)+12}{9}\geqslant 1$

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=1$