Chủ đề này có 3 trả lời

[gianglqd]

Tìm tất cả các hàm số $f: R^{+}\rightarrow R^{+}$ thỏa: $f(x)f(y)=f(x+y.f(x))$

[Dialga Palkia]

Lời giải (sửa sai):
\[f\left( x \right)f\left( y \right) = f\left( {x + yf\left( x \right)} \right),\left( 1 \right)\]
Với $u, v$ bất kỳ, chọn $x,y,z$ sao cho $y = \frac{{u - x}}{{f\left( x \right)}};z = \frac{v}{{f\left( y \right)f\left( x \right)}}$. Thế vào (1), ta có:
\[\begin{array}{rcl}
f\left( x \right)f\left( y \right) &=& f\left( {x + yf\left( x \right)} \right) \\&=& f\left( u \right)\\ \Rightarrow f\left( x \right)f\left( y \right)f\left( z \right) &=& f\left( u \right)f\left( z \right)\\&=& f\left( {u + zf\left( u \right)} \right)\\&=& f\left( {u + v} \right)\\f\left( x \right)f\left( y \right)f\left( z \right) &=& f\left( x \right)f\left( {y + zf\left( y \right)} \right)\\ &=&f\left( {x + \left( {y + zf\left( y \right)} \right)f\left( x \right)} \right)\\&=& f\left( {x + yf\left( x \right) + zf\left( y \right)f\left( x \right)} \right)\\&=& f\left( {u + 2v} \right)\end{array}\]
Vậy $f(a)=f(b)$ với mọi $a,b>0:2b>a>b>0$. Dễ thấy ngay $f$ là hàm hằng.
Thử lại:...

Còn nghiệm $f(x)=cx+1$ nữa

[perfectstrong]

Còn nghiệm $f(x)=cx+1$ nữa

Đúng thật, trên kia lại sai dòng cuối

[perfectstrong]

Sửa lại lần 2

Lời giải:

Quy ước: $a:=b$ nghĩa là "thay $a$ bởi $b$".

\[f\left( x \right)f\left( y \right) = f\left( {x + yf\left( x \right)} \right),\forall x,y > 0\left( 1 \right)\]

Giả sử tồn tại $x_0>0$ sao cho $f(x_0)<1$.

\[
y: = {y_0} = \frac{{{x_0}}}{{1 - f\left( {{x_0}} \right)}},x: = {x_0},\left( 1 \right) \Rightarrow f\left( {{x_0}} \right)f\left( {{y_0}} \right) = f\left( {{x_0} + \frac{{{x_0}}}{{1 - f\left( {{x_0}} \right)}}f\left( {{x_0}} \right)} \right) = f\left( {{y_0}} \right)\\
 \Rightarrow f\left( {{x_0}} \right) = 1:\text{ mâu thuẫn }\Rightarrow f\left( x \right) \ge 1\forall x > 0
\]

Mặt khác:

\[y: = \frac{y}{{f\left( x \right)}},\left( 1 \right) \Rightarrow f\left( x \right)f\left( {\frac{y}{{f\left( x \right)}}} \right) = f\left( {x + y} \right) \Rightarrow f:\text{ tăng} (*)\]

Do đó, nếu tồn tại $a>0$ để $f\left( a \right) = 1$ thì trong (1), $x:=a$, ta có\[f\left( y \right) = f\left( {a + y} \right)\]

Kết hợp (*), suy ra $f$ là hàm hằng. Thử lại, dễ thấy $f \equiv 1$.

 

Nên ta xét trường hợp $f(x)>1 \forall x>0$. Khi đó $f$ tăng ngặt. (**)

Trong (1), hoán đổi $x,y$, ta thu được\[\begin{array}{l}
f\left( x \right)f\left( y \right) = f\left( {y + xf\left( y \right)} \right) = f\left( {x + yf\left( x \right)} \right) \Rightarrow y + xf\left( y \right) = x + yf\left( x \right)\\
 \Rightarrow \frac{{f\left( y \right) - 1}}{y} = \frac{{f\left( x \right) - 1}}{x}\forall x,y > 0 \Rightarrow f\left( x \right) = cx + 1\left( {c > 0} \right)
\end{array}\]

 

Thử lại: