Chủ đề này có 2 trả lời

[royal1534]

1,Chứng minh bất đẳng thức sau với mọi a,b,c:

$(a+b-c)^{2}(b+c-a)^{2}(c+a-b)^{2} \geq (a^{2}+b^{2}-c^{2})(b^{2}+c^{2}-a^{2})(c^{2}+a^{2}-b^{2})$

2,Cho a,b,c dương thỏa $ab+bc+ca=3$.Chứng minh:

$a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc \geq a+b+c+1$

[Namthemaster1234]

2,Cho a,b,c dương thỏa $ab+bc+ca=3$.Chứng minh:

$a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc \geq a+b+c+1$ (1)

Đặt $p=a+b+c$ , $r=abc$, $q=ab+ac+bc=3$

 

Ta có: $(1) \Leftrightarrow p^2-2q+r \geq p+1 \Leftrightarrow r \geq -p^2+p +7$

 

Mặt khác ta luôn có: $r \geq \frac{p(4q-p)}{9}=\frac{p(12-p)}{9}$

 

Do đó ta chỉ cần cm : $\frac{p(12-p)}{9} \geq -p^2+p +7$ (*)

 

Thật vậy $(*) \Leftrightarrow (p-3)(8p+21) \geq 0$ (luôn đúng do $p^2 \geq 3q=9$ nên $p \geq 3$)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Namthemaster1234: 06-12-2015 - 17:20

[hoilamchi]

Đặt $p=a+b+c$ , $r=abc$, $q=ab+ac+bc=3$

 

Ta có: $(1) \Leftrightarrow p^2-2q+r \geq p+1 \Leftrightarrow r \geq -p^2+p +7$

 

Mặt khác ta luôn có: $r \geq \frac{p(4q-p)}{9}=\frac{p(12-p)}{9}$

 

Do đó ta chỉ cần cm : $\frac{p(12-p)}{9} \geq -p^2+p +7$ (*)

 

Thật vậy $(*) \Leftrightarrow (p-3)(8p+21) \geq 0$ (luôn đúng do $p^2 \geq 3q=9$ nên $p \geq 3$)

Hic,THCS mà dùng pqr thì ghê thật 

Có cách khác dùng mấy cái bất đẳng thức quen thuộc không bạn