Chủ đề này có 2 trả lời

[minh2582001]

$Cho x,y,z không âm; x+y+z=1 Chứng minh: xy+yz+zx-2xyz \leqslant \frac{7}{27}$

[Kira Tatsuya]

mình thì giải theo hàm số bậc nhất:có thể tham khảo tại http://diendantoanho...79-px2y2z24xyz/

$xy+yz+zx-2xyz\leq\frac{7}{27}\\\Leftrightarrow x(y+z-2yz)+yz-\frac{7}{27}\leq0$

không mất tính tổng quát, giả sử $x\geq y\geq z\Rightarrow x\geq\frac{1}{3};y+z\leq\frac{2}{3}$

Xét hàm $f(x)=x(y+z-2yz)+yz-\frac{7}{27}$

Nếu $y+z-2yz=0\Leftrightarrow 2yz=y+z\leq\frac{(y+z)^2}{2}\Leftrightarrow y+z\leq0;y+z\geq2$ loại do $y+z\leq\frac{2}{3}$

Suy ra $y+z-2yz\neq 0$ 

Ta có :$x\epsilon \left [ \frac{1}{3};1 \right ]$

Xét $f\left ( \frac{1}{3} \right )=\frac{1}{3}(y+z)+\frac{1}{3}yz-\frac{7}{27}\leq\frac{1}{3}.\frac{2}{3}+\frac{1}{3}.\frac{(\dfrac{2}{3})^2}{4}-\frac{7}{27}\leq0$

$f(1)=-\frac{7}{27}<0$ 

Vậy bất đẳng thức luôn đúng

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kira Tatsuya: 13-12-2015 - 17:24

[superpower]

$Cho x,y,z không âm; x+y+z=1 Chứng minh: xy+yz+zx-2xyz \leqslant \frac{7}{27}$

Đặt $x+y+z=p; xy+yz+xz=q, xyz=r$

Theo đề bài ta có $p=1$

Ta cần chứng minh $q-2r \leqslant \frac{7}{27}$

$<=> r \geq \frac{27q-7}{54}$

Mà theo bất đẳng thức Schur bậc 3, ta có

$p^3 - 4pq + 9r \geq 0 => r \geq \frac{4q-1}{9}$

Do đó, ta cần chứng minh 

$\frac{4q-1}{9} \geq \frac{27q-7}{54}$

$<=> q \leqslant \frac{1}{3}$ Đúng theo AM-GM

Vậy bất đẳng thức được chứng minh