Chủ đề này có 4 trả lời

[luukhaiuy]

chờ a,b,c là các số thực dương thỏa mãn abc=1 chứng minh rằng

P=$\frac{1}{2a^3+b^3+c^3+2}+\frac{1}{a^3+2b^3+c^3+2}+\frac{1}{a^3+b^3+2c^3+2}\leq \frac{1}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi luukhaiuy: 26-12-2015 - 19:43

[vuliem1987]

BĐT này khá lỏng. Có nhiều cách làm chặt BĐT này với điều kiện.

Dựa vào AM-GM dễ thấy  $P\leq \frac{1}{a^{3}+5}+\frac{1}{b^{3}+5}+\frac{1}{c^{3}+5}\leq \frac{1}{2}\Rightarrow 24\leq 3\left ( a^{3}b^{3}+b^{3}c^{3}+c^{3}a^{3} \right )+5\left ( a^{3}+b^{3}+c^{3} \right )$

[meomunsociu]

chờ a,b,c là các số thực dương thỏa mãn abc=1 chứng minh rằng

P=$\frac{1}{2a^3+b^3+c^3+2}+\frac{1}{a^3+2b^3+c^3+2}+\frac{1}{a^3+b^3+2c^3+2}\leq \frac{1}{2}$

Ta có :$\frac{1}{2a^3+b^3+c^3+2}$= $\frac{abc}{(a^3+b^3+abc)+(a^3+c^3+abc)}\leq \frac{abc}{ab(a+b+c)+ac(a+b+c)}=\frac{bc}{(a+b+c)(b+c)}$ (áp dụng BĐT quen thuộc : $x^3+y^3\geq xy(x+y)$)

$\Rightarrow \frac{1}{2a^3+b^3+c^3+2}\leq \frac{1}{a+b+c}.\frac{bc}{b+c}\leq \frac{1}{a+b+c}.\frac{1}{4}(b+c)$

(áp dụng BĐT $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{x+y}$)

$\Rightarrow P\leq \sum \frac{1}{a+b+c}.\frac{1}{4}(2a+2b+2c)=\frac{1}{2}$

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi meomunsociu: 26-12-2015 - 20:18

[PlanBbyFESN]

chờ a,b,c là các số thực dương thỏa mãn abc=1 chứng minh rằng

P=$\frac{1}{2a^3+b^3+c^3+2}+\frac{1}{a^3+2b^3+c^3+2}+\frac{1}{a^3+b^3+2c^3+2}\leq \frac{1}{2}$

Đặt a³=x;b³=y;c³=z (xyz=1)

Vận dụng: $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b}$ và $\sum a^{3}\geq 3abc=3$

$\frac{1}{2a^{3}+b^{3}+c^{3}+2}\leq \frac{1}{4}(\frac{1}{\sum a^{3}}+\frac{1}{a^{3}+2})\leq \frac{1}{4}(\frac{1}{3}+\frac{1}{x+2})$

tt cho 2 số còn lại.

Đưa về bài toán cm: $\sum \frac{1}{x+2}\leq 1$ Qui đồng lên và rút gọn ta được:

BĐT$\Leftrightarrow \sum xy\geq 3$

mà $\sum xy\geq 3\sqrt{x^{2}y^{2}z^{2}}=3$ (đpcm)

Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$

[KietLW9]

chờ a,b,c là các số thực dương thỏa mãn abc=1 chứng minh rằng

P=$\frac{1}{2a^3+b^3+c^3+2}+\frac{1}{a^3+2b^3+c^3+2}+\frac{1}{a^3+b^3+2c^3+2}\leq \frac{1}{2}$

Bài này mình đã làm bên OLM: https://olm.vn/hoi-d...4993059891.html