Chủ đề này có 2 trả lời

[nooneispromisedtomorrow]

Cho a;b;c là các số dương thỏa mãn $a+b+c\leq \frac{3}{2}$. Tìm GTLN của 

A = $\sum (3+\frac{1}{a}+\frac{1}{b})$

[Trung Kenneth]

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=x$; $\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=y$;$\frac{1}{c}+\frac{1}{a}=z$(x,y,z>0)

=> A= $(3+x)(3+y)(3+z)$ = $xyz+9.(x+y+z)+3.(xy+yz+zx)+27$

$Áp dụng AM-GM ta có$: A$\geq xyz+ 27.\sqrt[3]{xyz}+9.\sqrt[3]{(xyz)^2}+27$

Ta có : $xyz=(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}).(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}).(\frac{1}{c}+\frac{1}{a})=\frac{(a+c).(b+c).(c+a)}{(abc)^2}\geq \frac{8.(\sqrt{ab}.\sqrt{bc}.\sqrt{ca})}{(abc)^2}=\frac{8}{abc}$

 Vì $\frac{3}{2}\geq a+b+c\geq 3.\sqrt[3]{abc}$

=> $\sqrt[3]{abc}\leq \frac{1}{2}$

=>$abc\leq \frac{1}{8}$

=> $xyz\geq \frac{8}{abc}\geq 64$

Từ đó: $A\geq 64+ 9\sqrt[3]{64^{2}}+27.\sqrt[3]{64}+27$=343

=> $A\geq 343$

Dấu = xảy ra: $a=b=c=\frac{1}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Trung Kenneth: 27-12-2015 - 22:11

[KietLW9]

Ta dễ có:$VT\geq \prod (3+\frac{4}{a+b})$

Đặt $(a+b,b+c,c+a)\rightarrow (x,y,z)$ thì $x+y+z=2(a+b+c)\leq 3$

Ta cần tìm GTNN của $(3+\frac{4}{x})(3+\frac{4}{y})(3+\frac{4}{z})=27+36(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})+48(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx})+\frac{64}{xyz}\geq 343$

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c $=\frac{1}{2}$