Chủ đề này có 2 trả lời

[Ba Hiep]

1) Chứng minh rằng nếu hai số tự nhiên a,b thỏa mãn UCLN(a:b)=1 và tích ab là số chính phương thì cả a và b đều là số chính phương

2) Áp dụng: Cho $a,b\epsilon \mathbb{N}$ thỏa mãn $a^2+a=2b^2+b$. Chứng minh $a-b$ và $a+b+1$ đều là các số chính phương và có UCLN là 1

[chaubee2001]

Cái này mình nhớ hồi lớp 6 cô giáo mình cho chứng minh cái t.c này.

 

Gọi $ab=c^2$ và $(a;c)=d(d \in N^{*})$. Ta có:

$a=a_{1}d$ và $c=c_{1}d$ và $a_{1};c_{1}=1)$

Mà $ab=c^2 \Rightarrow a_{1}db=(c_{1}d)^2 \Leftrightarrow a_{1}b=c_{1}^2d$

Từ đó suy ra $\left\{\begin{matrix}a_{1}b\vdots c^2 \Rightarrow b \vdots c^2 ((a_{1},c_{1})=1)(1)\\ c_{1}^2d \vdots b \Rightarrow c_{1}^2 \vdots b ((a,c)=d,(a,b)=1\Rightarrow(d,b)=1)(2) \end{matrix}\right.$

Từ $(1)(2)$ suy ra $b=c_{1}^2$

Mà từ $ab=c^2$ có $a=\frac{c^2}{b}=d^2$

=> đpcm.

[I Love MC]

2) Từ giả thiết ta suy ra : 
$a^2-b^2+a-b=(a-b)(a+b+1)=b^2$ 
Áp dụng câu trên suy ra đpcm . 
Ta chứng minh $(a-b;a+b+1)=1$ bằng cách 
Gọi $(a-b;a+b+1)=d$ 
Suy ra $2a+1 \vdots d$ 
Mà $b^2 \vdots d^2$ 
Suy ra $b \vdots d$ 
$\rightarrow 1 \vdots d$