Chủ đề này có 2 trả lời

[royal1534]

Cho 3 số dương a,b,c thõa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$.Chứng minh:

$\frac{a^{2}+b^{2}}{a+b}+\frac{b^{2}+c^{2}}{b+c}+\frac{c^{2}+a^{2}}{c+a} \geq 3$

[Pham Quoc Thang]

Không mất tính tổng quát, giả sử: $a \geq b \geq c$
$VT=\sum{\frac{(a+b)^2+(a-b)^2}{2(a+b)}} = (a+b+c)+\sum{\frac{(a-b)^2}{2(a+b)}} \geq a+b+c+ \frac{(a-c)^2}{a+b+c}$ (Cauchy Schwarz)
$=\frac{a+b+c}{2}+\frac{(a+b+c)^2+2(a-c)^2}{2(a+b+c)}=\frac{a+b+c}{2} +\frac{9-2b^2+2ab+2bc-2ca}{2(a+b+c)}$
$=\frac{a+b+c}{2}+\frac{9}{2(a+b+c)} +\frac{(a-b)(b-c)}{a+b+c} \geq 3$
 

[quoccuonglqd]

$\frac{a^{2}+b^{2}}{a+b}+\frac{b^{2}+c^{2}}{b+c}+\frac{c^{2}+a^{2}}{c+a}\geq \frac{(\sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{b^{2}+c^{2}}+\sqrt{c^{2}+a^{2}})^{2}}{2(a+b+c)}=\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}+\sum \sqrt{a^{2}+b^{2}}\sqrt{b^{2}+c^{2}}}{a+b+c}$

Áp dụng C-S:$\sum \sqrt{a^{2}+b^{2}}\sqrt{b^{2}+c^{2}}\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+bc+ca$

Ta cần chứng minh :$\frac{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})+ab+bc+ca}{a+b+c}\geq 3$

$\Leftrightarrow 4(a^{2}+b^{2}+c^{2})+2(ab+bc+ca)\geq 6(a+b+c)$

Mà $4(a^{2}+b^{2}+c^{2})+2(ab+bc+ca)\geq 9+(a+b+c)^{2}\geq 6(a+b+c)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quoccuonglqd: 29-12-2015 - 08:52