Chủ đề này có 5 trả lời

[dtthltvp]

Chứng minh rằng nếu n là số tự nhiên sao cho $n+1$ và $2n+1$ là các số chính phương thì n là bội số của 24.

[chaubee2001]

giải:

$n+1$ và $2n+1$ là 2 số chính phương nên đặt $n+1=a^2,2n+1=b^2( a,b \in N)$. Ta có:

$2n+1$ là số lẻ, nên $b^2$ là số lẻ, $\Rightarrow b=2k+1( k \in N)$

$\Rightarrow 2n+1=b^2=4k^2+4k+1 \Leftrightarrow n=2k(k+1)$ $\Rightarrow$ n là số chẵn.

$\Rightarrow n+1=a^2$ lẻ $\Rightarrow $ a lẻ $\Rightarrow a=2q+1(q \in N) \Rightarrow n+1=a^2=4q^2+4q+1$

$\Leftrightarrow n=4q(q+1) \vdots 8(*)$ (cái này bạn tự c.m)

Lại có: $a^2+b^2=3n+2$ chia 3 dư 2 $\Rightarrow $ $a^2$ và $b^2$ chia 3 dư 1

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}n+1 \equiv 1(mod 3)\\ 2n+1 \equiv 1(mod 3)\end{matrix}\right.$ 

$\Leftrightarrow n \vdots 3(**)$

Từ $(*)(**)$ suy ra đpcm

[vuliem1987]

Bài này có cách giải nâng cao dùng phương trình Pell. 

Sử dụng phương trình Pell có thể giải quyết được nhiều bài toán thuộc loại này, thậm chí còn chỉ ra cấu trúc nghiệm và tập nghiệm nếu có là vô hạn.

[dtthltvp]

phương trinh Pell như thế nào anh?

[vuliem1987]

Em lên mạng gõ phương trình Pell, sẽ có luận văn giới thiệu đầy đủ các loại phương trình Pell loại 1 và 2. Ngoài ra sẽ có rất nhiều lý thuyết hay và đặc sắc liên quan đến nó như lý thuyết liên phân số, các vấn đề về pt Đi-ô-phăng

[vuliem1987]

Đối với học sinh THCS tìm hiểu về cái này cũng cần vì các vấn đề liên quan sẽ giúp em chinh phục lý thuyết số và số học đầy thú vị. Tất nhiên nó cũng khó đấy. Lời giải của chaube2001 là rất ấn tượng. Đúng với ý đồ ra đề của bài toán.