.2)Cho a,b,c là các số dương tùy ý. CMR:
$\frac{ab}{c(c+a)}+\frac{bc}{a(a+b)}+\frac{ca}{b(b+c)}\geq \frac{a}{c+a}+\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}$.
BĐT cần chứng minh
$\leftrightarrow \frac{ab}{c(c+a)}+\frac{bc}{a(a+b)}+\frac{ca}{b(b+c)}+\frac{c}{c+a}+\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c} \geq 3$
$\leftrightarrow \frac{ab+c^{2}}{c(c+a)}+\frac{bc+a^{2}}{a(a+b)}+\frac{ca+b^{2}}{b+c} \geq 3$
Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:
$VT \geq 3\sqrt[3]{\frac{(ab+c^{2})(bc+a^{2})(ca+b^{2})}{abc(a+b)(b+c)(c+a)}}$
Bài toán quy về chứng minh:
$(ab+c^{2})(bc+a^{2})(ca+b^{2}) \geq (a+b)(b+c)(c+a)$
Áp dụng bđt Cauchy-Schwarz ta có:
$(ab+c^{2})(b+a) \geq a(b+c)^{2}$
Thiết lập các bđt tương tự ta có đpcm.Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$